Question

3．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A，B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直于x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，△NAB的面积有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D₁、D₂在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D₃点在第一象限，是直线D₁N和D₂M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{2}$+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2，
将x=4，y=0代入y=-x²+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=$\frac{7}{2}$，
∴抛物线解析式为：y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2；

（2）如图1，设MN交x轴于点E，

则E（t，0），BE=4-t．
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$t．
又N点在抛物线上，且x_N=t，∴y_N=-t²+$\frac{7}{2}$t+2，
∴MN=y_N-ME=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（2-$\frac{1}{2}$t）=-t²+4t
∴当t=2时，MN有最大值4；

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，
如图2所示．

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD=MN，得|a-2|=4，解得a₁=6，a₂=-2
从而D为（0，6）或D（0，-2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D₃为D₁N与D₂M的交点，
易得D₁N的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+6，D₂M的方程为y=$\frac{1}{2}$x-2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．

点评 本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时一定要细心．