Question

（2013•白云区一模）如图，D为△ABC的AB边上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD．
（1）当AB=AC时，求证：DE＞BC；
（2）当AB≠AC时，DE与BC有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明．

Answer 1

分析：（1）作DF∥BC，CF∥BD（如图1），则四边形BCFD是平行四边形，从而∠DFC=∠B，DF=BC，CF=BD，再由BD=CE可得出∠1=∠2，再由大角对大边即可得出结论；
（2）由于AB、CD的大小不能确定，故应分①AB＞AC但AB=AE时；②当AB＞AC但AB＜AE时；③当AB＞AC且AB＞AE时；④当AB＜AC时四种情况进行分类讨论．

解答：（1）证明：作DF∥BC，CF∥BD（如图1），则四边形BCFD是平行四边形，从而∠DFC=∠B，DF=BC，CF=BD，
∵BD=CE，
∴CF=CE，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B而∠DFE=∠DFC+∠1=∠B+∠1=∠ACB+∠2＞∠AED+∠2=∠DEF，
即在△DEF中，
∵∠DFE＞∠DEF，
∴DE＞DF，即DE＞BC；

（2）解：当AB≠AC时，DE与BC的大小关系如下：
当AB＞AC但AB=AE时，DE=BC；
当AB＞AC但AB＜AE时，DE＞BC；
当AB＞AC且AB＞AE时，DE＜BC；
当AB＜AC时，DE＞BC．
证明如下：
①当AB＞AC但AB=AE时（如图2），
∵BD=CE，
∴AB-BD=AE-CE，即AD=AC．
在△ABC和△AED中，
∵

AB=AE ∠A=∠A AC=AD

，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED；
②AB＞AC但AB＜AE时，延长AB到F，使AF=AE，
在AE上截取AP=AD（如图3），连结PF．
在△AFP和△AED中，
∵

AE=AF ∠A=∠A AD=AP

，
∴△AFP≌△AED（SAS），
∴∠F=∠AED，即∠F=∠4．
∵∠ABC＞∠F，
∴∠ABC＞∠4．
过D点作DQ∥BC，且DQ=BC，连结CQ、EQ，则四边形DBCQ为平行四边形，
∴∠3=∠ABC，CQ=BD．
∵BD=CE，∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠ABC＞∠4，
∴∠3+∠1＞∠2+∠4，即∠DQE＞∠DEQ，
∴DE＞DQ，∴DE＞BC；
③当AB＞AC且AB＞AE时，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AP=AC（如图4），连结PF．
在△ABC和△AFP中，
∵

AB=AF ∠A=∠A AC=AP

，
∴△ABC≌△AFP（SAS），
∴∠B=∠F．
∵∠4＞∠F，
∴∠4＞∠B．
过D点作DQ∥BC，且DQ=BC，连结CQ、EQ，则四边形DBCQ为平行四边形，
∴∠3=∠B，CQ=BD．
∵BD=CE，
∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠B＜∠4，
∴∠3+∠1＜∠4+∠2，即∠DQE＜∠DEQ，
∴DE＜DQ，
∴DE＜BC．
④当AB＜AC时，此时，AB必小于AE，即AB＜AE，延长AB到F，使AF=AE，在AE上截取AP=AD（如图5）．连结PF．在△AFP和△AED中，
∵

AF=AE ∠A=∠A AP=AD

，
∴△AFP≌△AED（SAS），
∴∠F=∠AED，即∠F=∠4．
∵∠ABC＞∠F，
∴∠ABC＞∠4．
过D点作DQ∥BC，且DQ=BC，连结CQ、EQ，则四边形DBCQ为平行四边形，
∴∠3=∠ABC，CQ=BD．
∵BD=CE，
∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠ABC＞∠4，
∴∠3+∠1＞∠2+∠4，即∠DQE＞∠DEQ，
∴DE＞DQ，
∴DE＞BC．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．