Question

已知抛物线y=ax²+b（a＞0，b＞0），函数y=b|x|
问：（1）如图，当抛物线y=ax²+b与函数y=b|x|相切于AB两点时，a、b满足的关系；
（2）满足（1）题条件，则三角形AOB的面积为多少？
（3）满足条件（2），则三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离为多少？
（4）若不等式ax²+b＞b|x|在实数范围内恒成立，则a、b满足什么关系？

Answer 1

解：（1）当x＞0时，直线的解析式为y=bx，
联立两函数的解析式可得：
ax²+b=bx，即ax²-bx+b=0，
由于两函数的交点只有一个，
因此△=b²-4ab=0，b=4a．
同理可求得当x＜0时，b=4a．
因此a、b需满足的条件有b=4a．

（2）由（1）可知：y=ax²+4a，y=4a|x|，
因此A（-2，8a），B（2，8a）
因此S_△AOB=×4×8a=16a．

（3）设三角形AOB的内心为M，过M作MN⊥OA于N，
设AB与y轴的交点为H，设MN=MH=x，
根据△ONM∽△OHA，则有：
，
即
∴x=，
∴OM=8a-x=4a+
易知抛物线的顶点P坐标为（0，4a）．
因此三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离MP=

（4）根据题意：ax²+b＞b|x|，即ax²-b|x|+b＞0①，
∵a＞0，b＞0
如果要使①恒成立，b²-4ab＜0，
因此0＜b＜4a．
分析：（1）联立直线与抛物线的解析式可得出一个关于x的方程，已知两函数只有一个交点，因此方程的△=0．由此可求出a、b的关系式．
（2）将a、b的关系式代入两函数中即可求出A、B的坐标．进而可求出三角形AOB的面积．
（3）可通过构建相似三角形来求解．设三角形AOB的内心为M，过M作OA的垂线，设垂足为N，设AB与y轴交于H，可设MH=MN=x，根据相似三角形OMN和AMH求出x的值，即可求出OM的距离，根据抛物线的解析式可求出抛物线顶点的坐标，即可得出抛物线最低点到原点的距离．据此可得出所求．
（4）将b|x|移到方程左边，由于抛物线的开口向上即a＞0，如果ax²-b|x|+b＞0恒大于0，那么抛物线y=ax²-b|x|+b与x轴无交点即ax²-b|x|+b=0的△＜0，由此可求出a、b的关系．
点评：本题以二次函数为背景，考查了三角形内心、一元二次方程根的判别式以及不等式的解法等知识，综合性强，难度较大．