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已知抛物线y=ax2+b(a>0,b>0),函数y=b|x|
问:(1)如图,当抛物线y=ax2+b与函数y=b|x|相切于AB两点时,a、b满足的关系;
(2)满足(1)题条件,则三角形AOB的面积为多少?
(3)满足条件(2),则三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离为多少?
(4)若不等式ax2+b>b|x|在实数范围内恒成立,则a、b满足什么关系?

解:(1)当x>0时,直线的解析式为y=bx,
联立两函数的解析式可得:
ax2+b=bx,即ax2-bx+b=0,
由于两函数的交点只有一个,
因此△=b2-4ab=0,b=4a.
同理可求得当x<0时,b=4a.
因此a、b需满足的条件有b=4a.

(2)由(1)可知:y=ax2+4a,y=4a|x|,
因此A(-2,8a),B(2,8a)
因此S△AOB=×4×8a=16a.

(3)设三角形AOB的内心为M,过M作MN⊥OA于N,
设AB与y轴的交点为H,设MN=MH=x,
根据△ONM∽△OHA,则有:


∴x=
∴OM=8a-x=4a+
易知抛物线的顶点P坐标为(0,4a).
因此三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离MP=

(4)根据题意:ax2+b>b|x|,即ax2-b|x|+b>0①,
∵a>0,b>0
如果要使①恒成立,b2-4ab<0,
因此0<b<4a.
分析:(1)联立直线与抛物线的解析式可得出一个关于x的方程,已知两函数只有一个交点,因此方程的△=0.由此可求出a、b的关系式.
(2)将a、b的关系式代入两函数中即可求出A、B的坐标.进而可求出三角形AOB的面积.
(3)可通过构建相似三角形来求解.设三角形AOB的内心为M,过M作OA的垂线,设垂足为N,设AB与y轴交于H,可设MH=MN=x,根据相似三角形OMN和AMH求出x的值,即可求出OM的距离,根据抛物线的解析式可求出抛物线顶点的坐标,即可得出抛物线最低点到原点的距离.据此可得出所求.
(4)将b|x|移到方程左边,由于抛物线的开口向上即a>0,如果ax2-b|x|+b>0恒大于0,那么抛物线y=ax2-b|x|+b与x轴无交点即ax2-b|x|+b=0的△<0,由此可求出a、b的关系.
点评:本题以二次函数为背景,考查了三角形内心、一元二次方程根的判别式以及不等式的解法等知识,综合性强,难度较大.
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,k=
 

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2
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