Question

如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥CD？并求出此时PE的长；
（2）试判断△PEF的形状，并请说明理由．
（3）当0＜t＜2.5时，
（ⅰ）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积______（填序号）
①变大        ②变小        ③先变大，后变小        ④不变
（ⅱ）设△PEQ的面积为y（cm²），求出y（cm²）与t（s）之间的函数关系式及y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意推出AP的长度，然后推出△APE∽△ACD，根据对应边成比例，即可推出t的值，推出点P、E分别为AC、AD的中点，即可推出EF的长度；
（2）根据题意推出∠CFQ=∠CQF，既而推出CF=CQ，因此AQ=BF=AE，AP=CQ=CF，从而推出△PAE≌△FCP，因此PE=PF，即△PEF是等腰三角形；
（3）①根据题意，即可推出不变，②过点P作PH⊥EF于点H，过点C作CG⊥AB于点G，通过求证△AQE∽△ACD，△PQH∽△CAG，即可推出QE，PH关于t的表达式，即可推出y关于t的解析式，根据二次函数的最值即可推出y的取值范围．
解答：解：（1）∵AE=BF=CP=t，
∴AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴，
∴t=2.5，
此时点P、E分别为AC、AD的中点，
∴PE===3cm；（4分）

（2）△PEF是等腰三角形（5分）
证明：在?ABCD中，AD=BC=AC，AB=EF=CD，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，
∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，
∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，
∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP，
∴PE=PF；（8分）

（3）（ⅰ）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积④（填序号）（10分）
（ⅱ）∵△AQE∽△ACD，
∴，
∴（11分）
过点P作PH⊥EF于点H，过点C作CG⊥AB于点G，
∴△PQH∽△CAG，
∴，
∴PH=
∴y=（13分）
∴当时，y_最大=，
∴0＜y≤．（14分）
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、平行四边形的性质，关键在于熟练地运用各个性质求证相关的三角形相似．