【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)E为抛物线上一动点,是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?若存在,试求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将直线BC平移,使其经过点A,且与抛物线相交于点D,连接BD,试求出∠BDA的度数.
【答案】(1)抛物线的解析式为:y=-x2+x+2.(2)存在.E点坐标为(0,2),(3,2).(3)∠ADB=45°.
【解析】
(1)本题需先根据已知条件,过C点,设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2,再根据过A,B两点,即可得出结果;
(2)由图象可知,以A、B为直角顶点的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形.由相似关系求出点E的坐标;
(3)如图2,连结AC,作DE⊥x轴于点E,作BF⊥AD于点F,由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b,设AD的解析式为y=kx+n,由待定系数法求出一次函数的解析式,就可以求出点D坐标,由勾股定理就可以求出BD的值,由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°,由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°,就可以得出四边形ACBF是矩形,就可以得出BF的值,由勾股定理求出DF的值,而得出DF=BF而得出结论.
(1)∵该抛物线过点C(0,2),
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
将A(-1,0),B(4,0)代入,
得
解得,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+x+2.
(2)存在.
由图象可知,以A、B为直角顶点的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形.
在Rt△BOC中,OC=2,OB=4,
∴BC=.
在Rt△BOC中,设BC边上的高为h,则
∴h=.
∵△BEA∽△COB,设E点坐标为(x,y),
∴,
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-x2+x+2.
得x1=0,x2=3.
当y=-2时,不合题意舍去.
∴E点坐标为(0,2),(3,2).
(3)如图2,连结AC,作DE⊥x轴于点E,作BF⊥AD于点F,
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°.
设BC的解析式为y=kx+b,由图象,得
∴
yBC=-x+2.
由BC∥AD,设AD的解析式为y=-x+n,由图象,得
0=-×(-1)+n
∴n=-,
yAD=-x-.
∴-x2+x+2=-x-,
解得:x1=-1,x2=5
∴D(-1,0)与A重合,舍去;
∴D(5,-3).
∵DE⊥x轴,
∴DE=3,OE=5.
由勾股定理,得BD=.
∵A(-1,0),B(4,0),C(0,2),
∴OA=1,OB=4,OC=2.
∴AB=5
在Rt△AOC中,Rt△BOC中,由勾股定理,得AC=,BC=2,
∴AC2=5,BC2=20,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,
∴∠ACB=90°.
∵BC∥AD,
∴∠CAF+∠ACB=180°,
∴∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°,
∴四边形ACBF是矩形,
∴AC=BF=,
在Rt△BFD中,由勾股定理, 得DF=,
∴DF=BF,
∴∠ADB=45°.
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【题目】如图①,已知点、在直线上,且于点,且,以为直径在的左侧作半圆于点,且.
(1)若半圆上有一点,则的最大值为__________;
(2)向右沿直线平移得到.
①如图②,若截半圆的的长为,求的度数;
②当半圆与的边相切时,求平移距离.
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【题目】如图所示的正方形网格中,△的顶点均在格点上,请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题:
(1)作出△关于y轴对称的△ A1B1C1,并写出点C1的坐标.
(2)以点为旋转中心,将△绕点顺时针旋转得△ A2B2C2,画出△ A2B2C2 ,并写出点C2的坐标.
(3)画出△关于坐标原点成中心对称的△ A3B3C3,并写出点C3的坐标.
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【题目】如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD等于( )
A.20°B.25°C.30°D.32.5°
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【题目】在正方形ABCD中,BC=2,E、F分别是CB、CD延长线上的点,DF=BE,连接AE、AF.
(1)求证:△ADF≌△ABE.
(2)若BE=1,求sin∠AED的值.
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【题目】某校八年级学生全部参加“禁毒知识竞赛”,从中抽取了部分学生,将他们的竞赛成绩进行统计后分为,,,四个等次,并将统计结果绘制成如下的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)抽取了_______名学生成绩;
(2)扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数是_________;
(3)为估算全校八年级“禁毒知识竞赛”平均分,现将、、、依次记作分、分、分、分,请估算该校八年级知识竞赛平均分.
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【题目】已知二次函数的图像与x轴交于点(-2,0)、(),且,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,则下列结论中:①ab>0;②4a-2b+c=0;③2a-b+1<0;④a<b<c,其中正确的结论有( ).
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】某生产商存有1200千克产品,生产成本为150元/千克,售价为400元千克.因市场变化,准备低价一次性处理掉部分存货,所得货款全部用来生产产品,产品售价为200元/千克.经市场调研发现,产品存货的处理价格(元/千克)与处理数量(千克)满足一次函数关系(),且得到表中数据.
(千克) | (元/千克) |
200 | 350 |
400 | 300 |
(1)请求出处理价格(元千克)与处理数量(千克)之间的函数关系;
(2)若产品生产成本为100元千克,产品处理数量为多少千克时,生产产品数量最多,最多是多少?
(3)由于改进技术,产品的生产成本降低到了元/千克,设全部产品全部售出,所得总利润为(元),若时,满足随的增大而减小,求的取值范围.
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