Question

12．为了测量被池塘隔开的A、B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；　②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．根据所测数据，能出A，B间距离的有①②③（填上所有能求出A、B间距离的序号）

Answer 1

分析 利用正切的定义可由①求出AB；利用正切的定义表示求出BD、BC，再利用CD=$\frac{x}{tan∠ADB}$-$\frac{x}{tan∠ACB}$，则求出AB，于是可对②进行判断；利用相似三角形的判定与性质可对③④进行判断．

解答 解：当已知BC，∠ACB：
在Rt△ABC，∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
∴AB=BCtan∠ACB；
当已知CD，∠ACB，∠ADB，设AB=x，
∵tan∠ADB=$\frac{AB}{BD}$，
∴BD=$\frac{x}{tan∠ADB}$，
∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC=$\frac{x}{tan∠ACB}$，
∴DB-BC=CD，即CD=$\frac{x}{tan∠ADB}$-$\frac{x}{tan∠ACB}$，
∴x=$\frac{CD•tan∠ACB•tan∠ADB}{tan∠ACB-tan∠ADB}$；
当已知EF，DE，BD，则证明△ABD∽△FED，所以$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BD}{DE}$，即AB=$\frac{BD•EF}{DE}$；
当已知DE，DC，BC不能求出AB．
故答案①②③．

点评 本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．也考查了解直角三角形．