Question

6．计算：$\frac{1}{\sqrt{1+（1+\frac{1}{1}）^{2}}+\sqrt{1+（1-\frac{1}{1}）^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+（1+\frac{1}{2}）^{2}}+\sqrt{1+（1-\frac{1}{2}）^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+（1+\frac{1}{3}）^{2}}+\sqrt{1+（1-\frac{1}{3}）^{2}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{1+（1+\frac{1}{20}）^{2}}+\sqrt{1+（1-\frac{1}{20}）^{2}}}$=7．

Answer 1

分析 先将分母中两个二次根式化简，再进行分母有理化，从而发现每个分母均为4，最后计算分子的和，即可得答案．

解答 解：原式=$\frac{1}{\sqrt{1+{2}^{2}}+\sqrt{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}+\sqrt{1+\frac{4}{9}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{441}{400}}+\sqrt{1+\frac{361}{400}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{5}+1}$+$\frac{1}{\frac{\sqrt{13}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$+$\frac{1}{\frac{5}{3}+\frac{\sqrt{13}}{3}}$+…+$\frac{1}{\frac{29}{20}+\frac{\sqrt{761}}{20}}$
=$\frac{1}{\sqrt{5}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$+$\frac{3}{5+\sqrt{13}}$+…+$\frac{20}{29+\sqrt{761}}$
=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$+$\frac{2（\sqrt{13}-\sqrt{5}）}{8}$+$\frac{3（\sqrt{25}-\sqrt{13}）}{12}$+…+$\frac{20（29-\sqrt{761}）}{80}$
=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$+$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{5}}{4}$+$\frac{\sqrt{25}-\sqrt{13}}{4}$+…+$\frac{29-\sqrt{761}}{4}$
=$\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{13}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{13}+…+29-\sqrt{761}}{4}$
=$\frac{-1+29}{4}$
=7，
故答案为：7．

点评 本题主要考查二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的运算顺序和运算法则是解题的关键．