【题目】如图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置BC中点E处,三角板绕点E旋转,三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F.
(1)求证:△GBE∽△GEF.
(2)设AG=x,GF=y,求Y关于X的函数表达式,并写出自变量取值范围.
(3)如图2,连接AC交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ与△CEP相似,求线段AG的长.
【答案】(1)见解析;(2)y=4﹣x+(0≤x≤3);(3)当△AGQ与△CEP相似,线段AG的长为2或4﹣.
【解析】
(1)先判断出△BEF'≌△CEF,得出BF'=CF,EF'=EF,进而得出∠BGE=∠EGF,即可得出结论;
(2)先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=
,即可得出结论;
(3)分两种情况,①△AGQ∽△CEP时,判断出∠BGE=60°,即可求出BG;
②△AGQ∽△CPE时,判断出EG∥AC,进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG,即可得出结论.
(1)如图1,延长FE交AB的延长线于F',
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE=2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠F'=∠CFE,
在△BEF'和△CEF中,
,
∴△BEF'≌△CEF,
∴BF'=CF,EF'=EF,
∵∠GEF=90°,
∴GF'=GF,
∴∠BGE=∠EGF,
∵∠GBE=∠GEF=90°,
∴△GBE∽△GEF;
(2)∵∠FEG=90°,
∴∠BEG+∠CEF=90°,
∵∠BEG+∠BGE=90°,
∴∠BGE=∠CEF,
∵∠EBG=∠C=90°,
∴△BEG∽△CFE,
∴,
由(1)知,BE=CE=2,
∵AG=x,
∴BG=4﹣x,
∴,
∴CF=,
由(1)知,BF'=CF=,
由(1)知,GF'=GF=y,
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
当CF=4时,即:=4,
∴x=3,(0≤x≤3),
即:y关于x的函数表达式为y=4﹣x+(0≤x≤3);
(3)∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠BAC=∠BCA=45°,
∵△AGQ与△CEP相似,
∴①△AGQ∽△CEP,
∴∠AGQ=∠CEP,
由(2)知,∠CEP=∠BGE,
∴∠AGQ=∠BGE,
由(1)知,∠BGE=∠FGE,
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE,
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°,
∴∠BGE=60°,
∴∠BEG=30°,
在Rt△BEG中,BE=2,
∴BG=,
∴AG=AB﹣BG=4﹣,
②△AGQ∽△CPE,
∴∠AQG=∠CEP,
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE,
∴∠AQG=∠FGE,
∴EG∥AC,
∴△BEG∽△BCA,
∴,
∴,
∴BG=2,
∴AG=AB﹣BG=2,
即:当△AGQ与△CEP相似,线段AG的长为2或4﹣.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=﹣2x2+4x+2与C2:u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地.甲骑自行车,途中修车耽误了20分钟,甲行驶的路程(千米)关于时间(分钟)的函数图像如图所示;乙慢跑所行的路程(千米)关于时间(分钟)的函数解析式为.
(1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像;
(2)乙慢跑的速度是每分钟________千米;
(3)甲修车后行驶的速度是每分钟________千米;
(4)甲、乙两人在出发后,中途________分钟时相遇.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,把矩形纸片ABCD沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是( )
A. △EBD是等腰三角形,EB=ED B. 折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形 D. △EBA和△EDC′一定是全等三角形
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,D为AC边上的一点,DG∥AB,延长AB到E,使BE=GD,连接DE交BC于F.
(1)求证:GF=BF;
(2)若△ABC的边长为a,BE的长为b,且a,b满足(a﹣7)2+(b﹣3)2=0,求BF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(- 1,5),B(- 1,0),C(- 4,3).
(1)求出△ABC的面积;
(2)在图中作出△ABC关于轴的对称图形△A1B1C1;
(3)设P是y轴上的点,要使得点P到点A,C的距离和最小,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】大丰区在创建全国文明城市过程中,决定购买A,B两种树苗对某路段道路进行绿化改造,已知购买A种树苗5棵,B种树苗10棵,需要1300元;购买A种树苗3棵,B种树苗5棵,需要710元.
(1)求购买A,B两种树苗每棵各需要多少元?
(2)现需购进这两种树苗共100棵,其中A种树苗购进x棵,考虑到绿化效果和资金周转,A种树苗不能少于30棵,且用于购买这两种树苗的资金不能超过8650元,试求x 的取值范围。
(3)某包工队承包了该项种植任务,若种好一棵A种树苗需付工钱15元,种好一棵B种树苗需付工钱25元,在(2)的条件下,设种好这100棵树苗共需付工钱y元,,试求出y与x的函数表达式,并写出所付的种植工钱最少的购买方案及最少工钱是多少元。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.点P从A点出发沿A→C→B路径以每秒1cm的运动速度向终点B运动;同时点Q从B点出发沿B→C→A路径以每秒vcm的速度向终点A运动.分别过P和Q作PE⊥AB于E,QF⊥AB于F.
(1)设运动时间为t秒,当t= 时,直线BP平分△ABC的面积.
(2)当Q在BC边上运动时(t>0),且v=1时,连接AQ、连接BP,线段AQ与BP可能相等吗?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
(3)当Q的速度v为多少时,存在某一时刻(或时间段)可以使得△PAE与△QBF全等.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四边形ABCD中,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AE=3ED=6,求AB的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com