在数学的世界里.有很多结论的形式是统一的.这也体现了数学的美．请你证明下列两组条件中.均有等式$\frac{1}{{x} {1}}$+$\frac{1}{{x} {2}}$=$\frac{1}{{x} {3}}$成立．(1)如图1.∠APC=120°.PB平分∠APC.直线l与PA.PB.PC分别交于点A.B.C.PA=x1.PC=x2.PB=x3．(2)如图2.在平面直角坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

14．在数学的世界里，有很多结论的形式是统一的，这也体现了数学的美．请你证明下列两组条件中，均有等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$成立．
（1）如图1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x₁，PC=x₂，PB=x₃．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x₁，0）、B（0，x₂）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x₃．

分析（1）如图1中，过点B作BE∥PA交PC于点E，由BE∥PA，推出△BEC∽△APC，得到$\frac{BE}{AP}$=$\frac{EC}{PC}$，即$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}}$，即x₂x₃+x₁x₃=x₁x₂，两边除以x₁x₂x₃即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．由S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，列出式子，即可解决问题．

解答（1）证明：如图1中，过点B作BE∥PA交PC于点E，

∵BE∥PA，
∴△BEC∽△APC，
∵∠APC=120°，PB平分∠APC，可得△PBE是等边三角形．
∴BE=PE=PB=x₃，
∴EC=x₂-x₃，
∵$\frac{BE}{AP}$=$\frac{EC}{PC}$，
∴$\frac{{x}_{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}}$，
∴x₂x₃+x₁x₃=x₁x₂，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$．

②解：如图2中，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．

∵点C在直线y=x上，且横坐标为x₃，∴点C（x₃，x₃），
∴CE=CD=x₃，
∵S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$x₂x₃+$\frac{1}{2}$x₁x₃=$\frac{1}{2}$x₁x₂，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$．

点评本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案

全国重点高中提前招生同步强化训练卷系列答案

无敌卷王系列答案

培优100分系列小学总复习小升初必备系列答案

专题讲练3年中考2年模拟系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．

已知，如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE、CD相交于点F．
（1）若∠ACB=∠CDB=90°，求证：∠CFE=∠CEF；
（2）若∠ACB=∠CDB=m（0°＜m＜180°）．
①求∠CEF-∠CFE的值（用含m的代数式表示）；
②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE，如果存在，求出m的范围，如果不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

5．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：

自来水销售价格		污水处理价格
每户每月用水量	单价：元/吨	单价：元/吨
17吨及以下	a	0.80
超过17吨但不超过30吨的部分	b	0.80
超过30吨的部分	6.00	0.80

（说明：①每户产生的污水量等于该户的自来水用水量，②水费=自来水费用+污水处理费；
已知小王家2015年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值．
（2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把7月份水费控制在不超过家庭月收入的2%，若小王家的月收入为9600元，则小王家7月份最多能用水多少吨？（结果精确到1吨）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．如图，小华想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小华沿河岸向前走2m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度（精确到整数）．（提示：过点C作CE⊥AD于点E，$\sqrt{3}$≈1.732）