Question

【题目】如图，在等边三角形△ABC中，AE＝CD，AD、BE交于P点，BQ⊥AD于Q，求证：

(1) BP＝2PQ

(2) 连PC，若BP⊥PC，求的值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理SAS可得△BAE≌△ACD，得∠ABE=∠CAD，即可得出∠BPQ=60°，再根据BQ⊥AD，得出BP=2PQ；

（2）根据∠ABE=∠CAD，得∠PBC=∠BAQ，利用AAS可证明△BAQ≌△CBP，从而得出AP=PQ，即可得出的值．

(1)证明：在等边△ABC中

AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°

在△BAE和△ACD中，

∴△BAE≌△ACD(SAS)，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，

∵BQ⊥AD于Q

∴∠PBQ=30°

∴BP=2PQ

(2) ∵∠ABE=∠CAD，

∴∠ABC∠ABE=∠BAC∠CAD，

即∠PBC=∠BAQ，

在△BAQ和△CBP中，

∴△BAQ≌△CBP(AAS)，

∴AQ=BP=2PQ，

∴AP=PQ，

即.