Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）试说明∠BAE=∠DAF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵ ，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）

∴∠BAE=∠DAF；

（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），

BC=DC（正方形四条边相等），

∵BE=DF（已证），

∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质），

即CE=CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF（SAS），

∴OE=OF，又OM=OA，

∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

∵AE=AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．

【解析】（1）求简单的角相等，可证两角所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质和正方形的性质是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．