Question

2．如图，直线y=3x和双曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于点A，点P为双曲线上一点，且∠POA=∠1+∠2，求点P的坐标．

Answer 1

分析 过点A作x平行线交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交x轴于点F，交EA于点B，连接AP．将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中解方程得出点A的坐标，再根据∠POA=∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2=90°，设出点P的坐标，利用分解图形法求出△AOP的面积，再结合三角形的面积公式以及∠AOP=45°，即可求出点P的横坐标，将其代入到点P的坐标中即可得出结论．

解答 解：过点A作x平行线交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交x轴于点F，交EA于点B，连接AP．如图所示．

将一次函数解析式y=3x代入到反比例函数解析式y=$\frac{3}{x}$（x＞0）中，
3x=$\frac{3}{x}$，即3x²=3，
解得：x=1，或x=-1（舍去）．
当x=1时，y=$\frac{3}{1}$=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
设点P的坐标为（n，$\frac{3}{n}$）（n＞0），
则OF=n，OE=3，BP=3-$\frac{3}{n}$，AB=n-1，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{3}{n}）^{2}}$．
∵∠POA=∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2=90°，
∴∠POA=45°．
S_POA=S_矩形OFBE-S_△OAE-S_△OPF-S_△ABP=3n-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{n}$）（n-1）=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{1}{n}$）（n-1）=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）．
又∵S_POA=$\frac{1}{2}$OA•OP•sin∠POA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{3}{n}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{n}$），
即4n⁴-18n²-36=0，
解得：n²=6，或n²=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∵n＞0，
∴n=$\sqrt{6}$，
∴点P的坐标为（$\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积公式、角的计算以及解一元高次方程，解题的关键是通过两种方法求面积找出关于点P横坐标的一元四次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用切割法以及直接求面积法分别表示出三角形的面积，根据面积相等得出关于点的横坐标的一元高次方程是关键．