【题目】如图,△ABC 中,AB=AC=BC,∠BDC=120°且BD=DC,现以D为顶点作一个60°角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
(1)如图1,若∠MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想:BM+NC=MN.延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写出完整的证明过程;
(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明).
【答案】(1)过程见解析;(2)MN= NC﹣BM.
【解析】
(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,可以证得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根据∠MDN =60°,∠BDC=120°,可证∠MDN =∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,进而得到MN=BM+NC.
(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证△BMD≌△CED(SAS),再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得出结论.
解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DE.
∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,
又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ECD=90°,
在△MBD与△ECD中,
∵ ,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,
即:∠MDN =∠NDE=60°,
在△DMN与△DEN中,
∵ ,
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.
(2)如图②中,结论:MN=NC﹣BM.
理由:在CA上截取CE=BM.
∵△ABC是正三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
又∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BCD=∠CBD=30°,
∴∠MBD=∠DCE=90°,
在△BMD和△CED中
∵ ,
∴△BMD≌△CED(SAS),
∴DM= DE,∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,
∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,
即:∠MDN =∠NDE=60°,
在△MDN和△EDN中
∵ ,
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM.
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【题目】已知,如图,在中,,,.动点从点出发,沿向点运动,动点从点出发,沿向点运动,如果动点以1,以2的速度同时出发,设运动时间为,解答下列问题:
(1)当__________时,;
(2)连接.
①当时,求线段的长;
②在运动过程中,的形状不断发生变化,它能否构成直角三角形?如果能则求出此时的值,如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,己知A(0,8),B(6,0),点M、N分别是线段AB、AO上的动点,点M从点B出发,以每秒2个单位的速度向点A运动,点N从点A出发,以每秒1个单位的速度向点O运动,点M、N中有一个点停止时,另一个点也停止。设运动时间为t秒。
(1)当t为何值时,M为AB的中点;
(2)当t为何值时,△AMN为直角三角形;
(3)当t为何值时,△AMN是等腰三角形?并求此时点M的坐标.
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【题目】某校举办校级篮球赛,进入决赛的队伍有A、B、C、D,要从中选出两队打一场比赛.
(1)若已确定A打第一场,再从其余三队中随机选取一队,求恰好选中D队的概率.
(2)请用画树状图或列表法,求恰好选中B、C两队进行比赛的概率
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【题目】某电信公司给用户提供了两种手机上网计费方式:
方式:以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;
方式:除收月租费20元外,再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费.
假设用户甲一个月手机上网的时间共有分钟,上网的费用为元.
(1)分别写出用户甲按两种方式计费的上网费元与上网时间分钟之间的函数关系式;
(2)如果该用户每月通话时间400分钟,选择哪种计费方式更合算?
(3)如果该用户每月上网费为80元,选择哪种计费方式更合算?
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【题目】有七张正面分别标有数字﹣1、﹣2、0、1、2、3、4的卡片,除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为m,则使关于x的方程 + =2的解为正数,且不等式组 无解的概率是________.
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【题目】在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.
(1)如果确定小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求恰好选中大刚的概率;
(2)如果确定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是:三人同时伸“手心、手背”中的一种手势,如果恰好有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新开始,这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,l).若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C.
(1)试求a,b所满足的关系式;
(2)当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值;
(3)是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
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