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(2011山东烟台,25,12分)
已知:AB是⊙O的直径,弦CDAB于点GE是直线AB上一动点(不与点ABG重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE·OPr2
(2)当点EAB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.


     
(1)证明:连接FO并延长交⊙OQ,连接DQ.
FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°. ∴∠QFD+∠Q=90°.
CDAB,∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.
.∴OE·OPOF2r2.
(2)解:(1)中的结论成立.
理由:如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙OM,连接CM.
FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.
CDAB,∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.
,∴OE·OPOF2r2.

解析

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(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan72°≈3.08)

 

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