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    12．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C，O，A都不重合），过点A，C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E，F，连接OE，OF．
    （1）①依据题意补全图形；
    ②猜想OE与OF的数量关系为OE=OF．
    （2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．
    小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：
    想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
    想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边 相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
    …
    请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．
    （3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是EF=$\sqrt{3}$（CF+AE）．

    分析 （1）①由题意直接补全图形，②结论是OE=OF，
    （2）方法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；
    方法2、利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
    （3）判断出△NOF是等边三角形，再借助直角三角形的性质即可得出结论．

    解答 解：（1）①补全的图形如图所示．

    ②OE=OF．


    （2）法一：
    证明：如图1，
    延长EO交FC的延长线于点N，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AO=CO．
    ∵AE⊥BM，CF⊥BM，
    ∴AE∥CF．
    ∴∠AEO=∠CNO．
    又∵∠AOE=∠CON，
    ∴△AOE≌△CON．
    ∴OE=ON=$\frac{1}{2}EN$．
    ∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，
    ∴OF=$\frac{1}{2}EN$．
    ∴OE=OF．
    法二：
    证明：如图2，
    取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AB=BC，AC⊥BD．
    ∵P，Q是AB，BC的中点，
    ∴$OP=PB=\frac{1}{2}AB$，$OQ=QB=\frac{1}{2}BC$．
    ∴OP=OQ．
    同理，PE=QF．
    ∵OP=PB，PE=PB，
    ∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA．
    ∴∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE．
    同理，∠OQF=2∠OCF．
    ∵AC⊥BD，CF⊥BM，
    ∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．
    ∴∠OBE=∠OCF．
    ∴∠OPE=∠OQF．
    ∴△OPE≌△OQF．
    ∴OE=OF．
    （3）如图1，
    由（2）方法一、得出△AOE≌△CON，
    ∴AE=CN，OE=ON，
    由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴∠ABC=∠ADC=120°，
    ∴∠ABE+∠CBF=60°，
    ∵∠AOB=∠AEB=90°，
    ∴点A、E、B、O共圆，
    ∴∠AOE=∠ABE，
    同理：∠COF=∠CBF，
    ∴∠NOF=∠NOC+∠COF=∠AOE+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
    ∵OF=ON，
    ∴△FON是等边三角形，
    ∴∠ONF=60°，
    ∴∠FEN=30°，
    在Rt△EFN中，∠FEN=30°，
    ∴EF=$\sqrt{3}$FN=$\sqrt{3}$（CF+CN）=$\sqrt{3}$（CF+AE）．
    故答案为：$EF=\sqrt{3}（CF+AE）$．

    点评 此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质性质，解（2）的关键是构造全等三角形，解（3）的关键是判断出△OFN是等边三角形，是一道中考常考题．

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