Question

如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，点D在边BC的反向延长线上，且DB=3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC=∠D，设AD=x，BC=y．
（1）求线段CE的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质及条件得出△DBA∽△ACE，就可以得出

DB

AC

=

AB

CE

，从而得出结论；
（2）由△DBA∽△ACE可以得出

AD

AE

=

AB

CE

，进而可以求出AE，再根据△EAC∽△EDA可以得出

AC

AD

=

EA

ED

再由条件就可以求出解析式，根据三角形的三边关系就可以求出自变量的取值范围；
（3）根据条件求得△CAB∽△CDA，就可以得出

CA

CD

=

AB

DA

，从而得出

2

3+y

=

2

x

，再将y的值代入就可以求出x的值．

解答：解（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴

DB

AC

=

AB

CE

，
∵AB=AC=2，DB=3
∴

3

2

=

2

CE

∴CE=

4

3

；

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AB

CE

，
∵AD=x，AB=2，CE=

4

3

，
∴AE=

2

3

x．
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴

AC

AD

=

EA

ED

．
∵BC=y，
∴ED=DB+BC+CE=

13

3

+y，
∴

2

x

=

2 3 x

13 3 +y

，
∴y=

1

3

x2-

13

3

．
根据三角形的三边关系可以得出：
0＜y＜4，
∴0＜

1

3

x2-

13

3

＜4，
∴

13

＜x＜5．

（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

AB

DA

，
∴

2

3+y

=

2

x

，
即3+

1

3

x2-

13

3

=x，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，角平分线的性质的运用，相似三角形的性质求函数的解析式的运用，三角形的三边关系确定自变量的取值范围的运用，在解答者中运用角的关系求三角形相似是关健．