Question

【题目】问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是　 　．

问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．

问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）．

【解析】

（1）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．

（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．

（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．

（1）如图①中，

∵BC＝6，AD＝4，

∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝×6×4＝12．

故答案为12．

（2）∵矩形的周长为12，

∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，

∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．

（3）如图③中，

∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，

∴AC2＝AB2+BC2

∴∠ABC＝90°，

作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，

∵∠ADC＝60°，

∴点D在优弧ADC上运动，

当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，

设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝∠ADC，

∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，

∴DF＝DA，

∵DF+DC≥CF，

∴DA+DC≥D′A+D′C，

∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，

∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．

答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．