Question

在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈

3

5

，sin31°≈

1

2

）

Answer 1

分析：河宽就是点C到AB的距离，因此过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据AB=AD-BD=20，通过解两个直角三角形分别表示AD、BD的方程求解．

解答：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，
AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，（3分）
∵tan∠DAC=

CD

AD

，
∴

x

20+x

=

3

5

，
解得x=30．
经检验x=30是原方程的解，且符合题意．
答：这条河的宽度为30米．（6分）

点评：“化斜为直”是解三角形的基本思路，因此需作垂线（高）构造直角三角形．