Question

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析：（1）过O作ON⊥CD于N，连接OM，由切线的性质可知，OM⊥BC，再由AC是正方形ABCD的对角线可知AC是
∠BCD的平分线，由角平分线的性质可知OM=ON，故CD与⊙O相切；
（2）先根据正方形的性质得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的长，进而可求出AC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的长．

解答：（1）证明：过O作ON⊥CD于N，连接OM，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AB∥CD
∴AB∥OM∥DC，
∵AC为正方形ABCD对角线，
∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，
∵OM=ON，
∴CD与⊙O相切；

（2）解：由（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径，
∴OM=MC=1，
∴OC²=OM²+MC²=1+1=2，
∴OC=

2

．
∴AC=AO+OC=1+

2

，
在Rt△ABC中，AB=BC，
有AC²=AB²+BC²，
∴2AB²=AC²，
∴AB=

1+ 2

2

=

2 +2

2

．
故正方形ABCD的边长为

2 +2

2

．

点评：本题考查的是正方形的性质及勾股定理、切线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．