Question

【题目】如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1．

其中正确的是（　　）

A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝2a，则2a＋b＋c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，则当x＝1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，于是可对③进行判断；由于直线y＝x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a＋3b＋c＜3＋c，然后把b＝2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1，

∴b＝2a，

∴2a＋b＋c＝2a2a＋c＝c＞0，所以①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，

∴当x＝1时，y＜0，

∴ab＋c＜0，所以②正确；

∵x＝1时，二次函数有最大值，

∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，

∴ax2＋bx≤a＋b，所以③正确；

∵直线y＝x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a＋3b＋c＜3＋c，

而b＝2a，

∴9a6a＜3，解得a＜1，所以④正确．

故选：A．