Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）依据抛物线的解析式直接求得C的坐标，令y=0解方程即可求得A、B点的坐标；
（2）求出△BCM面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理求出△BPN的周长；
（3）如解答图，△CNQ为直角三角形，分三种情况：①点Q为直角顶点；②点N为直角顶点；③点C为直角顶点进行解答．

解答：解：（1）由抛物线的解析式y=-x²+2x+3，
∴C（0，3），
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x=3或x=-1；
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3．
设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=

1

2

PM•（x_P-x_C）+

1

2

PM•（x_B-x_P）=

1

2

PM•（x_B-x_C）=

3

2

PM．
∴S_△BCM=

3

2

（-x²+3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

．
∴当x=

3

2

时，△BCM的面积最大．
此时P（

3

2

，

3

2

），∴PN=ON=

3

2

，
∴BN=OB-ON=3-

3

2

=

3

2

．
在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=

3 2

2

．
C_△BCN=BN+PN+PB=3+

3 2

2

．
∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+

3 2

2

．

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
在Rt△CNO中，OC=3，ON=

3

2

，由勾股定理得：CN=

3 5

2

．
设点D为CN中点，则D（

3

4

，

3

2

），CD=ND=

3 5

4

．
如解答图，△CNQ为直角三角形，
①若点Q为直角顶点．
作Rt△CNO的外接圆⊙D，与对称轴交于Q₁、Q₂两点，由圆周角定理可知，Q₁、Q₂两点符合题意．
连接Q₁D，则Q₁D=CD=ND=

3 5

4

．
过点D（

3

4

，

3

2

）作对称轴的垂线，垂足为E，
则E（1，

3

2

），Q₁E=Q₂E，DE=1-

3

4

=

1

4

．
在Rt△Q₁DE中，由勾股定理得：
Q₁E=

Q1D2-DE2

=

11

2

．
∴Q₁（1，

3+ 11

2

），Q₂（1，

3- 11

2

）；
②若点N为直角顶点．
过点N作NF⊥CN，交对称轴于点Q₃，交y轴于点F．
易证Rt△NFO∽Rt△CNO，则

OF

ON

=

ON

OC

，即

OF

3 2

=

3 2

3

，解得OF=

3

4

．
∴F（0，-

3

4

），又∵N（

3

2

，0），
∴可求得直线FN的解析式为：y=

1

2

x-

3

4

．
当x=1时，y=-

1

4

，
∴Q₃（1，-

1

4

）；
③当点C为直角顶点时．
过点C作Q₄C⊥CN，交对称轴于点Q₄．
∵Q₄C∥FN，∴可设直线Q₄C的解析式为：y=

1

2

x+b，
∵点C（0，3）在该直线上，∴b=3．
∴直线Q₄C的解析式为：y=

1

2

x+3，
当x=1时，y=

7

2

，
∴Q₄（1，

7

2

）．
综上所述，满足条件的点Q有4个，
其坐标分别为：Q₁（1，

3+ 11

2

），Q₂（1，

3- 11

2

），Q₃（1，-

1

4

），Q₄（1，

7

2

）．

点评：本题是二次函数综合题，难度较大．解题过程中有若干解题技巧需要认真掌握：
①第（2）问中求△BCM面积表达式的方法；
②第（3）问中确定点Q的方法；
③第（3）问中求点Q坐标的方法．