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5.在矩形ABCD中,E是AD的中点,F是BC上一点,连接EF、DF,若AB=4,BC=8,EF=2$\sqrt{5}$,则DF的长为2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{13}$.

分析 分两种情况进行讨论,先过F作FG⊥AD于G,构造直角三角形,根据勾股定理求得EG的长,再根据勾股定理求得DF的长即可.

解答 解:①如图所示,当BF>CF时,过F作FG⊥AD于G,则GF=4,

Rt△EFG中,EG=$\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-{4}^{2}}$=2,
又∵E是AD的中点,AD=BC=8,
∴DE=4,
∴DG=4-2=2,
∴Rt△DFG中,DF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$;

②如图所示,当BF<CF时,过F作FG⊥AD于G,则GF=4,

Rt△EFG中,EG=$\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-{4}^{2}}$=2,
又∵E是AD的中点,AD=BC=8,
∴DE=4,
∴DG=4+2=6,
∴Rt△DFG中,DF=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$,
故答案为:2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{13}$.

点评 本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形,解题时注意分类思想的运用.

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