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已知AB是⊙O的直径,C、E是⊙O上的点,CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D、F,过点E作 EG⊥0C,垂足为G,延长EG交OA于H.
求证:
(1)HO•HF=HG•HE;
(2)FG=CD.
考点:圆的综合题
专题:证明题
分析:(1)利用相似三角形的判定方法得出△HGO∽△HFE,进而得出即可;
(2)过点G作 GM⊥0H,垂足为M,连结OE,利用
HO
HE
=
HG
HF
,∠EHO=∠FHG得出△HGF∽△HOE,进而得出Rt△FGM∽Rt△EOG,即可得出
GF
OE
=
CD
OC
由OE=OC得出答案.
解答:证明:(1)∵EG⊥0C,EF⊥AB
∴∠HGO=∠HFE=90°
又∵∠GHO=∠FHE,
∴△HGO∽△HFE,
HO
HE
=
HG
HF

即HO•HF=HG•HE;

   (2)如图1,过点G作 GM⊥0H,垂足为M,连结OE
HO
HE
=
HG
HF
,∠EHO=∠FHG
∴△HGF∽△HOE
∴∠HFG=∠HEO
∴Rt△FGM∽Rt△EOG
GM
OG
=
GF
OE

又  GM∥CD,
GM
CD
=
OG
OC
GM
OG
=
CD
OC

GF
OE
=
CD
OC
由OE=OC,得GF=CD

方法二:如图2,延长CD交⊙O于点N,延长EF交⊙O于点L,延长EH交⊙O于点K,连接KL,
则KL=2GF,CN=2CD
∵∠HEL=∠AOC,
∴KL=CN,∴GF=CD
点评:此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质,得出Rt△FGM∽Rt△EOG是解题关键.
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8
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