Question

已知AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的点，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，过点E作 EG⊥0C，垂足为G，延长EG交OA于H．
求证：
（1）HO•HF=HG•HE；
（2）FG=CD．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：（1）利用相似三角形的判定方法得出△HGO∽△HFE，进而得出即可；
（2）过点G作 GM⊥0H，垂足为M，连结OE，利用

HO

HE

=

HG

HF

，∠EHO=∠FHG得出△HGF∽△HOE，进而得出Rt△FGM∽Rt△EOG，即可得出

GF

OE

=

CD

OC

由OE=OC得出答案．

解答：证明：（1）∵EG⊥0C，EF⊥AB
∴∠HGO=∠HFE=90°
又∵∠GHO=∠FHE，
∴△HGO∽△HFE，
∴

HO

HE

=

HG

HF

，
即HO•HF=HG•HE；

   （2）如图1，过点G作 GM⊥0H，垂足为M，连结OE
∵

HO

HE

=

HG

HF

，∠EHO=∠FHG
∴△HGF∽△HOE
∴∠HFG=∠HEO
∴Rt△FGM∽Rt△EOG
∴

GM

OG

=

GF

OE

又  GM∥CD，
∴

GM

CD

=

OG

OC

即

GM

OG

=

CD

OC

∴

GF

OE

=

CD

OC

由OE=OC，得GF=CD

方法二：如图2，延长CD交⊙O于点N，延长EF交⊙O于点L，延长EH交⊙O于点K，连接KL，
则KL=2GF，CN=2CD
∵∠HEL=∠AOC，
∴KL=CN，∴GF=CD

点评：此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质，得出Rt△FGM∽Rt△EOG是解题关键．