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    如图，抛物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
    （3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E、G，与（2）中的函数图象交于点F、H．问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

    【答案】分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出y1的函数解析式；
    （2）过M作MN⊥x轴于N，根据抛物线y1的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在Rt△MPN和Rt△MBN中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于∠MPQ=∠MBP=45°，易证得△MPQ∽△MBP，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、y2的关系式，联立两式即可求出y2、x的函数关系式；
    （3）根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于EF∥GH，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有EF=GH，可据此求出m、n的数量关系．
    解答：解：（1）∵抛物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点；
    ∴，
    解得．
    ∴抛物线的解析式为y1=-x2+x+；

    （2）作MN⊥AB，垂足为N．
    由y1=-x2+x+，易得M（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0）；
    ∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°；
    根据勾股定理有：BM2-BN2=PM2-PN2，
    ∴（2）2-22=PM2-（1-x）2…①；
    又∠MPQ=45°=∠MBP，∠PMQ=∠BMP（公共角），
    ∴△MPQ∽△MBP，
    ∴PM2=MQ•MB=y2•2=2y2…②；
    由①②得：y2=x2-x+；
    ∵0≤x＜3，
    ∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+（0≤x＜3）；

    （3）四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：m+n=2（0≤m≤2且m≠1）；
    ∵点E、G是抛物线y1=-x2+x+分别与直线x=m，x=n的交点，
    ∴点E、G坐标为E（m，-m2+m+），G（n，-n2+n+）；
    同理，点F、H坐标为F（m，m2-m+），H（n，n2-n+）．
    ∴EF=m2-m+-（-m2+m+）=m2-2m+1，GH=n2-n+-（-n2+n+）=n2-2n+1；
    ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，
    ∴m2-2m+1=n2-2n+1，
    ∴（m+n-2）（m-n）=0；
    ∵由题意知m≠n，
    ∴m+n=2（m≠1）；
    因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．
    点评：此题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，综合性强，难度较大．
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    8
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    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
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    （2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
    （3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

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