Question

（11·孝感）（满分10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交的延长线于点M.
（1）填空：∠APC＝______度，∠BPC＝_______度；（2分）
（2）求证：△ACM≌△BCP；（4分）
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积.（4分）

Answer 1

解：（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°；……………………………………2分
（2）∵CM∥BP
∴∠BPM＋∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC＝60°
∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－(∠APC＋∠BPC)＝180°－120°＝60°
∴∠M＝∠BPC＝60°……………………………………4分
∴BC＝AC，∠BCA＝60°
∴∠PCM－∠ACP＝∠BCA－∠ACP
即∠ACM＝∠BCP……………………………………5分
在△ACM和△BCP中
∠M＝∠BPC      ∠ACM＝∠BCP    BC＝AC
∴△ACM≌△BCP……………………………………6分
（3）∵△ACM≌△BCP     ∴CM＝CP   AM＝BP
又∠M＝60° ∴△PCM为等边三角形……………………………………8分
∴CM＝CP＝PM＝1＋2＝3
作PH⊥CM于H

在Rt△PMH中，∠MPH＝30°

略