如图.平面直角坐标系中.点O为坐标原点.矩形OABC的边OA.OC在坐标轴上.点B.点E(0.2).过点D作DF⊥DE.交AB于点F.连结EF.将△DEF绕点E逆时针方向旋转.旋转角度为θ．(1)求tan∠DFE．(2)在旋转过程中.当△DFE的一边与直线AB平行时.求直线AB截△DFE所得的三角形的面积．(3)在旋转过程中.当∠DFE的两边所在直线与y轴围成的三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B（12，4），点D（3，0），点E（0，2），过点D作DF⊥DE，交AB于点F，连结EF，将△DEF绕点E逆时针方向旋转，旋转角度为θ（0°＜θ＜180°）．
（1）求tan∠DFE．
（2）在旋转过程中，当△DFE的一边与直线AB平行时，求直线AB截△DFE所得的三角形的面积．
（3）在旋转过程中，当∠DFE的两边所在直线与y轴围成的三角形为等腰三角形时，求点F的坐标．

分析（1）如图1，作辅助线，构建相似三角形，根据相似比求DG的长，利用勾股定理分别求DE和DF的长，由三角函数定义计算tan∠DFE的值；
（2）分三种情况：
①当ED∥AB时，如图2，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△FGH，
②当DF∥AB时，如图3，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△AGE，
③当EF∥AB时，如图4，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△DGH，
代入面积公式求出面积即可；
（3）分四种情况：
①如图5，当GF=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$时，根据三角函数得：tan∠G=$\frac{ED}{GD}$=$\frac{FH}{GH}$，则$\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{13}}$=$\frac{FH}{GH}$=$\frac{1}{3}$，设FH=a，GH=3a，则GF=$\sqrt{10}$a，求出a的值，写出F的坐标；
②当GF=GE时，如图6，作辅助线，证明△EFH≌△FED，求FH和OH的长，写出F的坐标；
③当FG=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$时，如图7，求DG的长，利用勾股定理求EG=$\frac{\sqrt{130}}{3}$，利用面积法求FH的长，写出F的坐标；
④当EG=EF=$\frac{5}{3}$$\sqrt{13}$时，如图8，根据tan∠DFE=tan∠DGE=$\frac{3}{4}$=$\frac{FH}{GH}$，设FH=3b，GH=4b，则FG=5b，
求出b的值，计算OH和FH的长，写出F坐标．

解答解：（1）如图1，过F作FG⊥OC于G，则FG=4，
∵点D（3，0），点E（0，2），
∴OE=2，OD=3，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDO+∠FDC=90°，
∵∠EOD=90°，
∴∠OED+∠EDO=90°，
∴∠OED=∠FDC，
∵∠EOD=∠FGD=90°，
∴△FDG∽△DEO，
∴$\frac{FG}{DO}=\frac{DG}{EO}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{DG}{2}$，
∴DG=$\frac{8}{3}$，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\sqrt{16+\frac{64}{9}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
ED=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在Rt△DEF中，tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{13}}{\frac{4}{3}\sqrt{13}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）分三种情况：
①当ED∥AB时，如图2，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△FGH，
∵DF⊥DE，
∴AB⊥DF，
∴DH=AE=2，
∴FH=DF-DH=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$-2，
由tan∠F=$\frac{GH}{FH}$=$\frac{3}{4}$得：$\frac{GH}{\frac{4\sqrt{13}}{3}-2}$=$\frac{3}{4}$，
∴GH=$\frac{2\sqrt{13}-3}{2}$，
∴S=S_△FGH=$\frac{1}{2}$GH•FH=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{13}-3}{2}$（$\frac{4\sqrt{13}}{3}$-2）=$\frac{61}{6}$-2$\sqrt{13}$；
②当DF∥AB时，如图3，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△AGE，
tan∠AEG=$\frac{AG}{AE}=\frac{DF}{DE}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AG}{2}=\frac{4}{3}$，
∴AG=$\frac{8}{3}$，
∴S=S_△AGE=$\frac{1}{2}$AG•AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=$\frac{8}{3}$；
③当EF∥AB时，如图4，此时直线AB截△DFE所得的三角形是△DGH，
∴∠F=∠DGH，
tan∠F=tan∠DGH=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{3}{4}$，
设DH=3x，DG=4x，则GH=5x，
过D作DM⊥EF，交GH于N，交EF于M，
∴DN=$\frac{12}{5}$x，MN=AE=2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\frac{4}{3}\sqrt{13}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$，
S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE•DF=$\frac{1}{2}$EF•DM，
$\sqrt{13}$×$\frac{4\sqrt{13}}{3}$=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$×DM，
DM=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$，
由DN+MN=DM，得：$\frac{12}{5}x$+2=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$，
x=$\frac{2\sqrt{13}-5}{6}$，
S=S_△DGH=$\frac{1}{2}$DH×DG=$\frac{1}{2}$×4x×3x=6x²=6×（$\frac{2\sqrt{13}-5}{6}$）²=$\frac{77}{6}$-$\frac{10\sqrt{13}}{3}$；

（3）分四种情况：
①如图5，当GF=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$时，
过F作FH⊥y轴于H，则GH=EH，
Rt△GED中，tan∠G=$\frac{ED}{GD}$=$\frac{FH}{GH}$，
∵ED=$\sqrt{3}$，GD=FG+DF=$\frac{5}{3}\sqrt{13}$+$\frac{4}{3}\sqrt{13}$=3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{13}}$=$\frac{FH}{GH}$=$\frac{1}{3}$，
设FH=a，GH=3a，则GF=$\sqrt{10}$a，
∴$\sqrt{10}$a=$\frac{5}{3}$$\sqrt{13}$，
a=$\frac{\sqrt{130}}{6}$，
∴FH=$\frac{\sqrt{130}}{6}$，
OH=OE+HE=2+3×$\frac{\sqrt{130}}{6}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$+2=$\frac{\sqrt{130}+4}{2}$，
∴F（$\frac{\sqrt{130}}{6}$，$\frac{\sqrt{130}+4}{2}$）；
②当GF=GE时，如图6，
过F作FH⊥y轴于H，
∴∠DFE=∠FEG，
∵∠FHE=∠FDE=90°，EF=EF，
∴△EFH≌△FED，
∴FH=ED=$\sqrt{13}$，HE=DF=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∴OH=EH+OE=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$+2=$\frac{4\sqrt{13}+6}{3}$，
∴F（-$\sqrt{13}$，$\frac{4\sqrt{13}+6}{3}$）；
③当FG=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$时，如图7，
DG=$\frac{5\sqrt{13}}{3}-\frac{4\sqrt{13}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
Rt△DEG中，
EG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\frac{\sqrt{13}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{130}}{3}$，
过F作FH⊥y轴于H，
∵FG=EF，
∴GH=EH=$\frac{\sqrt{130}}{6}$，
∴OH=$\frac{\sqrt{130}}{6}$+2=$\frac{\sqrt{130}+12}{6}$，
S_△EGF=$\frac{1}{2}$GE•FH=$\frac{1}{2}$FG•DE，
$\frac{\sqrt{130}}{3}$FH=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$×$\sqrt{13}$，
$\frac{\sqrt{130}}{3}$FH=$\frac{65}{3}$，
FH=$\frac{\sqrt{130}}{2}$，
∴F（-$\frac{\sqrt{130}}{2}$，$\frac{\sqrt{130}+12}{6}$）；
④当EG=EF=$\frac{5}{3}$$\sqrt{13}$时，如图8，
∴∠DFE=∠DGE，
∵ED⊥GF，
∴DF=DG=$\frac{4}{3}$$\sqrt{13}$，
∴FG=2DF=$\frac{8}{3}\sqrt{13}$，
tan∠DFE=tan∠DGE=$\frac{3}{4}$=$\frac{FH}{GH}$，
设FH=3b，GH=4b，则FG=5b，
则5b=$\frac{8}{3}$$\sqrt{13}$，
b=$\frac{8}{15}$$\sqrt{13}$，
∴FH=3b=3×$\frac{8}{15}$$\sqrt{13}$=$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，GH=4b=4×$\frac{8}{15}\sqrt{13}$=$\frac{32}{15}\sqrt{13}$，
∴OH=OE+EG-GH=OE+EF-GH=2+$\frac{5}{3}\sqrt{13}$-$\frac{32}{15}$$\sqrt{13}$=$\frac{30-7\sqrt{13}}{15}$，
∴F（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{30-7\sqrt{13}}{15}$）．
综上所述，点F的坐标为$（\frac{{\sqrt{130}}}{6}，\frac{{\sqrt{130}+4}}{2}）$或$（-\sqrt{13}，\frac{{4\sqrt{13}+6}}{3}）$或（-$\frac{\sqrt{130}}{2}$，$\frac{\sqrt{130}+12}{6}$）或（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{30-7\sqrt{13}}{15}$）．

点评本题是四边形和三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角函数、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，比较复杂，运用的知识较多，并采用了分类讨论的思想，利用数形结合，解决问题，本题的2、3问容易丢解，要认真思考．

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