Question

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AC=6，O是AB边上的一动点，以O为圆心，OA为半径画圆。（1）设OA=x，则x为多少时，⊙O与BC相切；
（2）当⊙O与直线BC相离成相交时，分别写出x的取值范围；
（3）当点O在何处时，△ABC为⊙O的内接三角形。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC=6，
∴AB=12，
若⊙O与BC相切于点D，连结OD，
则OD⊥BC，则∠ODB=∠C=90°，
又∠B=∠B，
于是△OBD∽△ABC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
∴r=4，
∴当x=4时，⊙O与BC相切；
（2）当⊙O与直线BC相离时，,
当⊙O与直线BC相交，；
（3）当点O在AB中点时，OA=OB=OC=6，
△ABC为⊙O的内接三角形。