分析 根据“f(x)除以2(x-1),余式是3;2f(x)除以3(x+2),余式是-4”,可得出f(x)=2(x-1)P(x)+3①、2f(x)=3(x+2)Q(x)-4②,根据②式可得出f(-2)=-2,将其代入①中可得出6P(x)=(x+2)R(x)+5③,将①式的两边同时乘3即可得出3f(x)=(x-1)(x+2)R(x)+(5x+4),再在两边同时除以4(x-1)(x+2)即可得出:$\frac{3f(x)}{4({x}^{2}+x-2)}$=$\frac{R(x)}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$,由此即可得出结论.
解答 解:∵f(x)除以2(x-1),余式是3,
∴必有f(x)=2(x-1)P(x)+3①(P(x)为关于x的多项式),
同理:必有2f(x)=3(x+2)Q(x)-4②(Q(x)为关于x的多项式).
由②可知,当x=-2时,2f(-2)=-4,
∴f(-2)=-2.
∴f(-2)=2×(-2-1)P(-2)+3=-2,
∴6P(-2)=5,即6P(x)除以(x+2),余5,
∴6P(x)=(x+2)R(x)+5③(R(x)为关于x的多项式).
由①可知,3f(x)=6(x-1)P(x)+9,
∴3f(x)=(x-1)[(x+2)R(x)+5]+9=(x-1)(x+2)R(x)+5(x-1)+9=(x-1)(x+2)R(x)+(5x+4).
在3f(x)=(x-1)(x+2)R(x)+(5x+4)两边同时除以4(x-1)(x+2)可得:$\frac{3f(x)}{4({x}^{2}+x-2)}$=$\frac{R(x)}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$,
故3f(x)除以4(x2+x-2)的余式为$\frac{5x+4}{4}$.
点评 本题考查的整式的除法,解题的关键是根据整式的除法找出$\frac{3f(x)}{4({x}^{2}+x-2)}$=$\frac{R(x)}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$.
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