Question

小明在研究四边形的相关性质时发现，在不改变面积的条件下，一般梯形很难转化为菱形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形．例如以下的等腰梯形就可以转化为菱形（如图1），已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=10，CD=20，∠C=60°．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）如果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试画出变化后的图形（在图1中画出，图形的对应部分标明相同的编号）；
（3）在完成上述任务后，他又试着将梯形的形状变为直角梯形（如图2），其它条件不变，将梯形分成几块．
①他能拼成一个菱形吗？如果能，请在图2中画出相应的图形；
②他能拼成一个正六边形吗？如果能，请在图3中画出相应的图形．

Answer 1

解：（1）过D作DE∥AB交于BC于E，
∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB=CD=20，
∵∠C=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=20，BC=10，梯形的高h=，
∴S_梯=；

（2）如图1；

（3）如图2和图3．

分析：（1）因为等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=10，CD=20，∠C=60°，所以可过D作DE∥CD交于BC于E，因为AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形，所以DE=AB=CD=20，又因∠C=60°，可得△CDE是等边三角形，所以CE=20，BC=10，梯形的高h=，然后利用梯形的面积公式即可求解；
（2）能拼成一个菱形，可分别过点A、D作梯形的高，将菱形分割成一个矩形和两个全等的直角三角形，然后再利用矩形的对角线将其分割成两个全等的直角三角形，这四个直角三角形都有一条直角边为10，另一条直角边为梯形的高，即它们都全等，进而以它们的斜边为菱形的边长即可拼接成所求图形；
（3）能拼成菱形，利用直角梯形的与底不垂直的腰的中点E，连接BE，过E作BC的垂线，利用平移和旋转就拼成了一个以AB为边的菱形；能拼成正六边形，利用腰CD的中点E，连接BE，以EC为一边做等边三角形，再作该等边三角形的高，将它分割成三角形①、②，然后将这两个三角形移到A、B处，使A、B处形成120度的角即可解决问题．
点评：本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．