Question

19．如图，在边长为4的正三角形ABC中，BD=1，∠BAD=∠CDE，则AE的长为$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，则CD=BC-BD=3，再根据有两组角对应相等的两三角形相似可判断△ABD∽△DCE，利用相似比计算出CE=$\frac{3}{4}$，然后利用AE=AC-CE进行计算即可．

解答 解：∵△ABC为边长为4的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，
∴CD=BC-BD=4-1=3，
∵∠BAD=∠CDE，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{CE}$，
∴CE=$\frac{3}{4}$，
∴AE=AC-CE=4-$\frac{3}{4}$=$\frac{13}{4}$．
故答案为$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．