Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD．设⊙O的半径为r．

∵BC切⊙O于点D，

∴OD⊥BC．

∵∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴△OBD∽△ABC．

∴ = ，即10r=6（10﹣r）．

解得r= ，

∴⊙O的半径为

（2）解：四边形OFDE是菱形．理由如下：

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴∠DEF=∠B．

∵∠DEF= ∠DOB，

∴∠B= ∠DOB．

∵∠ODB=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠DOB=60°．

∵DE∥AB，

∴∠ODE=60°．

∵OD=OE．

∴OD=DE．

∵OD=OF，

∴DE=OF．

又∵DE∥OF，

∴四边形OFDE是平行四边形．

∵OE=OF，

∴平行四边形OFDE是菱形．

【解析】（1）连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则 = ，从而求得r；（2）由四边形BDEF是平行四边形，得∠DEF=∠B，再由圆周角定理可得，∠B= ∠DOB，则△ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形．再根据OE=OF，则平行四边形OFDE是菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．