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(2003•安徽)附加题:
要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校,每所学校至少要分到一个名额.
(1)试提出一种分配方案,使得分到相同名额的学校少于4所;
(2)证明:不管怎样分配,至少有3所学校得到的名额相同;
(3)证明:如果分到相同名额的学校少于4所,则29名选手至少有5名来自同一学校.
【答案】分析:(1)答案不唯一,只要保证分到相同名额的学校少于4所,10所学校的名额和等于29即可;
(2)假设没有3所学校得到相同的名额,可以用反证法进行分析证明;
(3)假设每所学校分得的名额都不超过4,可以运用反证法进行证明.
解答:解:(1)满足要求的分配方案有很多,如:学校对应的名额可以分别是:1,1,1,2,2,2,3,3,7,7;

(2)假设没有3所学校得到相同的名额,而每校至少要有1名,则人数最少的分配方案是:每两所学校一组依次各得1,2,3,4,5个名额,总人数为2(1+2+3+4+5)=30,但现在只有29个名额,故不管如何分配,都至少有3所学校分得的名额相同;

(3)假设每所学校分得的名额都不超过4,并且每校的名额不少于1,则在分到相同名额的学校少于4所的条件下,10所学校派出的选手数最多不会超过3×4+3×3+3×2+1×1=28,这与选手总数是29矛盾,从而至少有一所学校派出的选手数不小于5.
点评:解决问题的关键是读懂题意,能够运用反证法进行分析说明.
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(3)证明:如果分到相同名额的学校少于4所,则29名选手至少有5名来自同一学校.

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