Question

16．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB交BC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为$\frac{3}{2}$，ED=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由SAS证明△OCE≌△ODE，得出∠ODE=∠C=90°，即可得出结论；
（2）由全等三角形的对应边相等得出EC=ED=2，由勾股定理求出OE，再证明OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵OE∥AB，
∴∠∠1=∠A，∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
在△OCE和△ODE中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{OE=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠C=90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是⊙O的切线．
（2）解：∵△OCE≌△ODE，
∴EC=ED=2，
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2.5，
∵OC=OA，OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB=2OE=5．

点评 本题考查了切线的判定方法、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理；本题综合性强，有一定难度．