Question

【题目】如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是.点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处.

（Ⅰ）求点、的坐标；

（Ⅱ）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于，设的长为，的面积为，试用关于的代数式表示；

（Ⅲ）在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，请直接写出四边形的周长最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）E（3，1），F（1，2）；（Ⅱ）S=-+；（Ⅲ）5+；

【解析】

（Ⅰ）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（Ⅱ）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（Ⅲ）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，根据轴对称的性质可得四边形MNFE的周长=E′F′+EF，根据两点间的距离公式即可得出结论．

（Ⅰ）∵点的坐标是，点的坐标是，

∴OA=3，AB=2

根据矩形OABC可得：AB=OC=2，BC=OA=3

由可翻折的性质可得：BF=AB=2，

∴CF=BC-BF=1，
∵点是的中点，∴AE=1，

∴E（3，1），F（1，2）；
（Ⅱ）如图2

∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，

∵=，OD=1，∴PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP=（x-1），
∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=-+；
（Ⅲ）如图3

作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，

∵点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），

∵点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），

∴F′N=FN， E′M=EM

∴四边形MNFE的周长=E′F′+EF=；
∴四边形MNFE周长的最小值为：．