Question

如图，P为x轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A、B两点，交y轴于C点，弦AE
分别交OC、CB于D、F．已知

AC

=

CE

，
（1）求证：AD=CD；
（2）若DF=

5

4

，tan∠ECB=

3

4

，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）设M为x轴负半轴上一点，OM=

1

2

AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，根据圆周角定理知∠ACB=90°，已知OC⊥AB，易证得∠ACO=∠OBC，因此只需证得∠DAC=∠ABC；由于C是

AE

的中点，那么∠CAE=∠CBA，由此可得∠ACD=∠CAD，即可得证．
（2）在Rt△ACB和Rt△ACF中，∠DCF和∠DFC是等角的余角，因此两角相等，由此可得CD=DF=AD，即可得到AD的长，已知了∠ECO即∠DAO得正切值，可用未知数表示出OA、OD的长，进而由勾股定理求出OA、OD的长，也就能求出OC的长；由相交弦定理得：OC²=OA•OB，即可求出OB的长，从而得到A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式．
（3）由（2）可求得⊙P的直径，根据∠EAB的余弦值即可求出AE的长，从而求出OM的值，也就得到了M点的坐标．设出过点M的直线解析式，将点M的坐标代入其中，即可消去一个待定系数，联立抛物线的解析式，消去y后可得关于x的一元二次方程，由于两个函数的交点到y轴的距离相等，因此它们的横坐标互为相反数，利用根与系数的关系即可确定该直线解析式中的待定系数，然后再判断此时的方程是否有实数根即可，若有实数根，则存在符合条件的直线，反之则不存在．

解答：（1）证明：连接AC，
∵AB为半圆P的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
又∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠ABC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠ABC=∠CAE，
∴∠ACO=∠CAE，
∴AD=CD．

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CFA=90°，∠ACO+∠BCO=∠90°，
∴∠BCO=∠CFA，
∴CD=DF，
∴AD=CD=DF=

5

4

，
∴OD=

3

4

OA；
由勾股定理得OA²+OD²=AD²
∴OA²+（

3

4

AO）²=（

5

4

）²
∴OA=1，OD=

3

4

，
∴OC=

3

4

+

5

4

=2，
由相交弦定理得OC²=4，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2），
设过A，B，C三点的抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）解：不存在；
理由，假设存在过点M的直线符合题目的条件，连接EB，
∵AB=1+4=5，又AB为半圆直径，
∴∠AEB=90°，
∴EB=

3

4

AE，
∴AE=4，
∴OM=

1

2

AE=2，
∵M点在x轴负半轴上，
∴M点的坐标为（-2，0）；
设过M点的直线解析式为y=kx+b，则-2k+b=0，
∴b=2k，
∴y=kx+2k，
由题意，方程组

y=kx+2k y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2

有两个解，消去y，
得

1

2

x2+(k-

3

2

)x+2k-2=0①，
方程①应有两个不等式的实数根，
∵所求直线与抛物线的两个交点到y轴距离相等，
∴方程①两根互为相反数，即两根之和为0；
∴k=

3

2

，
∴原方程无实数解；
∴满足题目条件的直线不存在．

点评：此题考查的知识点有：圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形、相交弦定理、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及根与系数的关系、根的判别式等知识，涉及的知识范围较广，综合性强，难度较大．