Question

已知：抛物线y=a（x-1）²+9经过点M(0， 

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4

)，顶点为A，它的对称轴AD与直线y=x及x轴分别交于点C，点D．
（1）求a的值；
（2）过该抛物线的顶点A向直线y=x作垂线，垂足为B，试判断点B是否在抛物线上？
（3）设点P是该抛物线上的一个动点，是否存在半径为4

2

的⊙P，且⊙P既与直线y=x相切又与x轴相离？若有，求出点P的坐标；若无，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点M(0， 

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4

)代入y=a（x-1）²+9求出即可；
（2）把a=-

1

4

代入y=a（x-1）²+9，求出抛物线的解析式和顶点A的坐标，作AB⊥直线y=x，垂足为B，得出C（1，1），推出△ODC、△ABC是等腰直角三角形，求出OB=5

2

，作BT⊥x轴于点T，求出OT，得出B（5，5），把点B（5，5）代入y=-

1

4

(x-1)2+9看左边、右边是否相等即可；
（3）由（2）得出AB=4

2

，点A到直线y=x的距离为4

2

，推出⊙P与直线y=x相切、⊙P与x轴相离，①当⊙P在直线y=x的左上方时，设过点A（1，9）且平行于直线y=x的直线l的解析式为：y=x+b，代入求出直线l的解析式，推出点P可能在直线l上，故设符合条件的点P的坐标为（x，x+8），
把点P（x，x+8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，求出即可；②当⊙P在直线y=x的右下方时，根据图形的对称性，同理可得直线l'的解析式，设符合条件的点P的坐标为（x，x-8），把点P（x，x-8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9求出即可．

解答：解：（1）把点M(0， 

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4

)代入y=a（x-1）²+9得：
a(0-1)2+9=

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4

，
∴a=-

1

4

，
答：a的值是-

1

4

．

（2）答：点B是在抛物线上．
理由是：把a=-

1

4

代入y=a（x-1）²+9，得：
抛物线的解析式为：y=-

1

4

(x-1)2+9，顶点A（1，9），
作AB⊥直线y=x，垂足为B，依题意得：C（1，1），
∴△ODC是等腰直角三角形，OC=

2

，
∴∠OCD=∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AC=9-1=8，BC=AC•sin45°=8×

2

2

=4

2

，
∴OB=5

2

，
作BT⊥x轴于点T，在Rt△OBT中，OT=OB•sin45°=5

2

•

2

2

=5，
∴B（5，5），
把点B（5，5）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，左边=5，右边=-

1

4

(5-1)2+9=5，
∴左边=右边，
∴B（5，5）在抛物线y=-

1

4

(x-1)2+9上．

（3）解：由（2）得△ABC是等腰直角三角形，AB=4

2

，
又AB⊥直线y=x，即点A到直线y=x的距离为4

2

，
即点P与点A重合时，⊙P与直线y=x相切，
∵点P（1，9）到x轴的距离为9，9＞4

2

，
∴⊙P与x轴相离，
故点P₁（1，9）符合题意，
①当⊙P在直线y=x的左上方时，
设过点A（1，9）且平行于直线y=x的直线l的解析式为：y=x+b，
∴9=1+b，
∴b=8，
∴直线l的解析式为：y=x+8，
∵直线l平行直线y=x，AB⊥直线l，AB=4

2

，
∴直线l到直线y=x的距离为4

2

，
则点P可能在直线l上，故设符合条件的点P的坐标为（x，x+8），
把点P（x，x+8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，解得：x=1或x=-3，
∴P₁（1，9）或P₂（-3，5），
∵P₂（-3，5）到x轴的距离为5，5＜4

2

，
∴⊙P₂与x轴相交，
∴点P₂不符合题意，舍去；
②当⊙P在直线y=x的右下方时，根据图形的对称性，同理可得：
距离为4

2

且平行于直线y=x的直线l'的解析式为：y=x-8，
∴点P可能在直线l'上，故设符合条件的点P的坐标为（x，x-8），
把点P（x，x-8）代入y=-

1

4

(x-1)2+9，解得：x=-1+2

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或x=-1-2

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，
∴P3(-1+2

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， -9+2

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)或P4(-1-2

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， -9-2

17

)，
∵P3(-1+2

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， -9+2

17

)到x轴的距离为|-9+2

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|≈0.75＜4

2

，
∴⊙P₃与x轴相交，故点P₃不合题意，舍去．
∵P4(-1-2

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， -9-2

17

)到x轴的距离为|-9-2

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|≈17.25＞4

2

，
∴⊙P₄与x轴相离
综合上述：符合条件的点P共有2点，它们的坐标分别是（1，9）、(-1-2

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， -9-2

17

)．
答：设点P是该抛物线上的一个动点，存在半径为4

2

的⊙P，且⊙P既与直线y=x相切又与x轴相离，点P的坐标是（1，9），（-1-2

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，-9-2

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）．

点评：本题主要考查对解一元二次方程，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．