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等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.

(1)若AE=CF;

①求证:AF=BE,并求∠APB的度数;

②若AE=2,试求AP•AF的值;

(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.


              (1)①证明:∵△ABC为等边三角形,

∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,

又∵AE=CF,

在△ABE和△CAF中,

∴△ABE≌△CAF(SAS),

∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.

②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,

,即,所以AP•AF=12

(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.

①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,

∴∠AOB=120°,

又∵AB=6,

∴OA=

点P的路径是

②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为:

所以,点P经过的路径长为或3


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