Question

13．已知直线y=$\frac{3}{4}$x+4，P是抛物线y=-$\frac{1}{16}$（x-8）²上任意一点，当点P到直线的距离最小时，求P点坐标及最小距离．

Answer 1

分析 设直线y=$\frac{3}{4}$x+m与抛物线相切，利用平行线的性质可得出点P为直线y=$\frac{3}{4}$x+m与抛物线的切点，将一次函数解析式代入二次函数解析式中利用根的判别式△=0可求出m值，联立两函数解析式即可求出点P的坐标，设直线y=$\frac{3}{4}$x+4与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$交y轴的交点为D，过点B作BC⊥直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$于点C，由同角的余角相等可得出∠CB0=∠BAO，再通过解直角三角形即可求出BC的长度，此题得解．

解答 解：设直线y=$\frac{3}{4}$x+m与抛物线相切，
将y=$\frac{3}{4}$x+m代入抛物线y=-$\frac{1}{16}$（x-8）²，整理得：x²-4x+64+16m=0，
∵两函数图象相切，
∴△=（-4）²-4×（64+16m）=0，
解得：m=-$\frac{15}{4}$．
联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{1}{16}（x-8）^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（2，-$\frac{9}{4}$）．
设直线y=$\frac{3}{4}$x+4与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$交y轴的交点为D，过点B作BC⊥直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$于点C，如图所示．
则点A（-$\frac{16}{3}$，0），点B（0，4）．
∴tan∠BAO=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BAO=$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$．
∵∠BAO+∠ABO=∠ABO+∠CBO=90°，
∴∠CB0=∠BAO．
∴BC=BD•cos∠CBO=[4-（-$\frac{15}{4}$）]×$\frac{4}{5}$=$\frac{31}{5}$．
∴当点P到直线的距离最小时，P点坐标为（2，-$\frac{9}{4}$），最小距离为$\frac{31}{5}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，利用平行线的性质确定点P的坐标是解题的关键．