Question

8．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$交于A（-1，2），B（2，n），与y轴交于C点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D、E两点，若S_△ABD=3，
求D、E的坐标．
（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入求出m即可；把B的坐标代入求出n，代入求出一次函数的解析式即可；
（2）先判断出S_△ABF=S_△ABD=3，再利用三角形的面积计算方法求出点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；
（3）设出点P的坐标，进而得出Q，R的坐标，利用QR=2QP建立方程求解即可．

解答 解：（1）点A（-1，2）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=（-1）×2=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{2}{x}$，
∵点B（2，n）也在反比例函数的y=-$\frac{2}{x}$图象上，
∴n=-1，
即B（2，-1）
把点A（-1，2），点B（2，-1）代入一次函数y=kx+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=1，
∴一次函数的表达式为y=-x+1，
答：反比例函数的表达式是y=-$\frac{2}{x}$，一次函数的表达式是y=-x+1；

（2）如图1，
连接AF，BF，
∵DE∥AB，
∴S_△ABF=S_△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），
∵直线AB的解析式为y=-x+1，
∴C（0，1），
设点F（0，m），
∴AF=1-m，
∴S_△ABF=S_△ACF+S_△BCF=$\frac{1}{2}$CF×|x_A|+$\frac{1}{2}$CF×|x_B|=$\frac{1}{2}$（1-m）×（1+2）=3，
∴m=-1，
∴F（0，-1），
∵直线DE的解析式为y=-x+1，且DE∥AB，
∴直线DE的解析式为y=-x-1①．
∵反比例函数的表达式为y=-$\frac{2}{x}$②，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴D（-2，1），E（1，-2）；

（3）如图2
由（1）知，直线AB的解析式为y=-x-1，双曲线的解析式为y=-$\frac{2}{x}$，
设点P（p，2），
∴Q（p，-p-1），R（p，-$\frac{2}{p}$），
PQ=|2+p+1|，QR=|-p-1+$\frac{2}{p}$|，
∵QR=2QP，
∴|-p-1+$\frac{2}{p}$|=2|2+p+1|，
解得，p=$\frac{-5±\sqrt{17}}{2}$或p=$\frac{-7±\sqrt{73}}{6}$，
∴P（$\frac{-5+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{-7+\sqrt{73}}{6}$，2）或（$\frac{-7-\sqrt{73}}{6}$，2）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，平行线的性质，同底等高的两三角形的面积相等，解方程组，解（1）的关键是利用同底等高的两三角形的面积相等转化三角形ABD的面积，解（3）的关键是用方程的思想解决问题．