Question

【题目】如图，已知点A（0，1），C（4，3），E，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点．

（1）求证：A、C、E三点共线；

（2）设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，试确定a、b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）﹣＜a＜﹣，＜b＜．

【解析】

试题分析：（1）说明点A、C、E在一条直线上，只要求出过A、C的直线的解析式，然后判断E是否满足函数的解析式就可以；

（2）连接GA、FA，已知△GAO与△FAO的面积差为3，而这两个三角形的高相同是OA的长，等于1，因而就可以得到OG与OF的长度的一个关系式．抛物线y=ax2﹣6ax+1的顶点可以用a表示出来，顶点P在矩形ABCD的内部，即可以求出a的取值范围．

解：（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1，

将点E的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，

∵左边=右边，

∴点E在直线y=x+1上，

即点A、C、E在一条直线上；

（2）连接GA、FA．

∵S△GAO﹣S△FAO=3

∴GOA0=FOAO=3．

∵OA=1，

∴GO﹣FO=6．

设F（x1，0），G（x2，0），

则x1、x2是方程ax2+bx+1=0的两个根，且x1＜x2，

又∵a＜0

∴x1x2=＜0，

∴GO=x2、FO=﹣x1

∴x2﹣（﹣x1）=6，即x2+x1=6

∵x2+x1=﹣，

∴﹣=6，

∴抛物线的解析式为：y=ax2﹣6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1﹣9a）

∵顶点P在矩形ABCD的内部，

∴1＜1﹣9a＜3，

∴﹣＜a＜0①

由方程组，

得：ax2﹣（6a+）x=0，

∴x=0或x==6+，

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，

则有：0＜6+＜，

解得：﹣≤a＜﹣，

综合①②，得﹣＜a＜﹣，

∵b=﹣6a，

∴＜b＜．