Question

己知：如图，⊙O与内切于点B，BC是⊙O的直径，BC＝6，BF为的直径，BF＝4，⊙O的弦BA交于点D，连接DF、AC、CD．(1)求证：DF∥AC；(2)当∠ABC等于多少度时，CD与相切？并证明你的结论．(3)在(2)的前提下，连接FA交CD于点E，求AF、EF的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵BC是⊙O的直径，BF是⊙的直径， 　　∴∠BDF＝∠BAC＝， 　　∴DF∥AC． 　　(2)当∠ABC＝时，CD与⊙相切． 　　连接，∵⊙的直径BF＝4， 　　⊙O的直径BC＝6， 　　∴FC＝＝2． 　　在Rt△BFD中，由BF＝4，∠ABC＝． 　　∴DF＝2，∴DF＝＝FC＝2． 　　∴为直角三角形， 　　∴＝． 　　又∵点D在⊙上， 　　∴CD与⊙相切． 　　(3)在Rt△ABC中，∠ABC＝，BC＝6，∴AC＝3，AB＝3． 　　在Rt△DBF中，∠ABC＝，BF＝4， 　　∴DF＝2，BD＝2，∴AD＝． 　　在Rt△ADF中， 　　AF＝＝． 　　∵DF∥AC，∴＝＝． 　　∴＝， 　　∴EF＝AF＝．