Question

定义1：与四边形四边都相切的圆叫做四边形的内切圆．定义2：一组邻边相等，其他两边也相等的凸四边形叫做筝形．探究：任意筝形是否一定存在内切圆？答案：    ．（填“是”或“否”）

Answer 1

【答案】分析：由定义1知：只有四边形的四个内角平分线相交于同一点时，四边形才一定有内切圆．因此可沿筝形的对称轴将筝形分成两部分，然后用全等三角形证明筝形的四个内角平分线相交于同一点即可．
解答：解：如图；
四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD；
由定义2可知：四边形ABCD为筝形；
连接AC；
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC；
∴△ABC≌△ADC；
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC；
即AC平分∠BCD和∠BAD；
作∠ABC的角平分线交AC于E，作∠ADC的角平分线交AC于F；
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABE=∠ADF；
又AB=AD，∠BAC=∠DAC；
∴△ABE≌△ADF；
∴AE=AF，即E、F重合；
因此四边形ABCD的四个内角平分线相交于同一点，由角平分线的性质可知：这个交点到四边形ABCD的四边距离都相等，因此筝形一定有内切圆．
点评：这是一个最简单的探究题，这也是课程改革后新增加的一类问题．它是考查考生能力的主要题型，像这类问题是无法用“题海战术”解决的．它更重视分析问题的能力培养，培养研究数学思想方法、寻求多种解题途径中最佳解题方法的刻苦钻研的精神．