【题目】已知抛物线与x轴交于A(6,0)、B(,0)两点,与y轴交于点C,过抛物线上点M(1,3)作MN⊥x轴于点N,连接OM.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图1,将△OMN沿x轴向右平移t个单位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F.
①当点F为M′O′的中点时,求t的值;
②如图2,若直线M′N′与抛物线相交于点G,过点G作GH∥M′O′交AC于点H,试确定线段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①1;②t=2时,EH最大值为
.
【解析】
试题分析:(1)设抛物线解析式为,把点M(1,3)代入即可求出a,进而解决问题.
(2))①如图1中,AC与OM交于点G.连接EO′,首先证明△AOC∽△MNO,推出OM⊥AC,在RT△EO′M′中,利用勾股定理列出方程即可解决问题.
②由△GHE∽△AOC得=
=
,所以EG最大时,EH最大,构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题.
试题解析:(1)设抛物线解析式为,把点M(1,3)代入得a=
,∴抛物线解析式为
,∴
.
(2)①如图1中,AC与OM交于点G.连接EO′.∵AO=6,OC=2,MN=3,ON=1,∴=3,∴
,∵∠AOC=∠MON=90°,∴△AOC∽△MNO,∴∠OAC=∠NMO,∵∠NMO+∠MON=90°,∴∠MON+∠OAC=90°,∴∠AGO=90°,∴OM⊥AC,∵△M′N′O′是由△MNO平移所得,∴O′M′∥OM,∴O′M′⊥AC,∵M′F=FO′,∴EM′=EO′,∵EN′∥CO,∴
,∴
,∴EN′=
(5﹣t),在RT△EO′M′中,∵O′N′=1,EN′=
(5﹣t),EO′=EM′=
,∴
,∴t=1.
②如图2中,∵GH∥O′M′,O′M′⊥AC,∴GH⊥AC,∴∠GHE=90°,∵∠EGH+∠HEG=90°,∠AEN′+∠OAC=90°,∠HEG=∠AEN′,∴∠OAC=∠HGE,∵∠GHE=∠AOC=90°,∴△GHE∽△AOC,∴,∴EG最大时,EH最大,∵EG=GN′﹣EN′=
=
=
,∴t=2时,EG最大值=
,∴EH最大值=
,∴t=2时,EH最大值为
.
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【题目】((2016江西省)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
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【题目】下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形
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【题目】下列事件中,是确定事件的是( )
A.三角形任意两边之和小于第三边
B.365人中一定至少有两人的生日相同
C.龙口市下周一定会下雨
D.打开电视机,正在播放广告
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(m<0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),该抛物线的对称轴与直线
相交于点E,与x轴相交于点D,点P在直线
上(不与原点重合),连接PD,过点P作PF⊥PD交y轴于点F,连接DF.
(1)如图①所示,若抛物线顶点的纵坐标为,求抛物线的解析式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)如图②所示,小红在探究点P的位置发现:当点P与点E重合时,∠PDF的大小为定值,进而猜想:对于直线上任意一点P(不与原点重合),∠PDF的大小为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由.
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【题目】下列不等关系中,正确的是( )
A.a不是负数可表示为a>0
B.x不大于5可表示为x>5
C.x与1的和是非负数可表示为x+1>0
D.m与4的差是负数可表示为m-4<0
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