Question

如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．

（1）在图1中，你发现线段，的数量关系是           ，直线，相交成                   度角．
（2）将图1中的绕点顺时针旋转角，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由．
（3）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．

Answer 1

见解析

试题分析：(1）由图可知线段AC，BD相等，且直线AC，BD相交成90°角．
（2）以上关系仍成立．延长CA交BD于点E，根据勾股定理可证得AC=BD，即可证明△AOC≌△BOD，根据两全等三角形对应角的关系，即可证明CE⊥BD．
（3）结论仍成立．延长CA交OD于E，交BD于F，可证得△COA≌△DOB，同上即可得结论．
（1）、AC=BD，………………………………2分
（2）、（1）中的两个结论仍然成立，理由如下：
∵和△OCD都是等腰直角三角形   
∴OA="OB," OC=OD，∠COD=∠AOB=   ∴△AOC≌△BOD
∴AC=BD,   ∠ACO=∠BDO
延长CA交BD于点E.
∵∠DBO+∠BDO=   ∴∠DBO+∠ACO=
∴∠CEB=   即：直线，相交成90度角．……………7分
(3)、（1）中的两个结论仍然成立，理由如下
∵和△OCD都是等腰直角三角形
∴OA="OB," OC=OD，∠COD=∠AOB=
∴∠COD-∠AOD =∠AOB-∠AOD
∴∠AOC=∠BOD
∴△AOC≌△BOD
∴AC=BD, ∠ACO=∠BDO
延长CA交BD于点E, 交CD于点F
∵∠ACO+∠CFO=  ，∠CFO=∠DFE
∴∠BDO+∠DFE =  ∴∠CEB=
即直线，相交成90度角．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、旋转的相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．