Question

11．已知抛物线y=ax²-x+c过点A（-6，0），对称轴是直线x=-2，与y轴交于点B，顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）连DO，求证：∠AOD=∠ABO；
（3）点P在y轴上，且△ADP与△AOB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将对称轴是直线x=-2，以及点A（-6，0），代入解析式求出即可；
（2）过D作DH⊥x轴，利用D（-2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD=2，进而得出∠AOD=∠ABO；
（3）分别根据情况1：若∠DAP=90°，情况2：若∠ADP=90°，情况3：若∠APD=90°，分析得出P点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-x+c过点A（-6，0），对称轴为x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6+c=0}\\{-\frac{-1}{2a}=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²-x+3，
顶点D坐标为（-2，4）；

（2）过D作DH⊥x轴，
∵D（-2，4），
∴在Rt△DHO中tan∠AOD=2，
又∵B（0，3），A（-6，0），
∴在Rt△ABO中tan∠ABO=2，
∴∠AOD=∠ABO；
             
（3）∵△ADP与△AOB相似，而△AOB为直角三角形，
∴△ADP也为直角三角形，
∴情况1：若∠DAP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠DAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴P（0，-6）
但此时AD=4$\sqrt{2}$，AP=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
又$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ADP与△AOB不相似，
∴此时点P不存在．           
情况2：若∠ADP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠ADH=45°，∴∠HDP=45°，
∴P（0，2）
此时，$\frac{DP}{AD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，且∠ADP=∠AOB，
∴△ADP与△AOB相似，
即当P（0，2）时，使得△ADP与△AOB相似．
情况3：若∠APD=90°，设P（0，t），
则AP²+PD²=AD²，
即36+t²+4+（t-4）²=32，得t²-4t+12=0，
∵△＜0，
∴无解，
∴点P不存在．
综上所述，点P的坐标是（0，2）．

点评 此题主要考查了一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质与判定，以及分类讨论思想的应用，根据△ADP不同角为90度分别分析求解是解题关键．