Question

17．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），$\frac{st}{2}$是整数，求这个四位“对称等和数”；
（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=$\overline{1a5}$（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=-x+15．

Answer 1

分析 （1）根据四位“对称等和数”中k=4得：s≤4，t≤4，分别令s=1，2，3，4进行讨论，由$\frac{st}{2}$是整数，可得对应t的值，分别写出可能的四位数，根据能被11整除的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除；可知，只有2222和4400能被11整除；
（2）先根据对称等和数的定义，得2a=1+5，a=3，则A=135，设：B=$\overline{bxc}$，C=$\overline{dye}$，则b+c=2x，d+e=2y，根据已知得：$\overline{（b+d）（x+y）（c+e）}$=1665，即百位上的数字和为15或16，分情况进行讨论即可．

解答 （1）解：当s=1时，
∵$\frac{st}{2}$是整数，
∴t为偶数，
∵k=4，
∴t≤4，
∴t=2或4，
则这个四位“对称等和数”可以是：
①1223，不能被11整除，不符合条件；
②1403，不能被11整除，不符合条件；
当s=2时，
∵$\frac{st}{2}$是整数，
∴t=1，2，3，4，
则这个四位“对称等和数”可以是：
③2132，不能被11整除，不符合条件；
④2222，2222÷11=202，符合条件；
⑤2312，不能被11整除，不符合条件；
⑥2402，不能被11整除，不符合条件；
当s=3时，
∵$\frac{st}{2}$是整数，t≤4，
∴t=2或4，
则这个四位“对称等和数”可以是：
⑦3221，不能被11整除，不符合条件；
⑧3401，不能被11整除，不符合条件；
当s=4时，
同理得t=1，2，3，4，
分别为4130，4220，4310，4400，只有4400能被11整除；
综上所述，这个四位“对称等和数”有2个，分别是：2222，4400；
（2）证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=$\overline{1a5}$（1≤a≤9，a为整数），
∴2a=1+5，a=3，
∴A=135，
由题意设：B=$\overline{bxc}$，C=$\overline{dye}$，则b+c=2x，d+e=2y，
∵A+B+C=1800，
∴B+C=1800-135=1665，
∴$\overline{（b+d）（x+y）（c+e）}$=1665，
∴15≤b+d≤16，
①当b+d=15时，x+y=16，c+e=5，
∴b+d+c+e=15+5=20，
即2x+2y=20，
x+y=10≠16，不符合题意；
②当b+d=15时，x+y=15，c+e=15，
∴∴b+d+c+e=15+15=30，
即2x+2y=30，
x+y=15，符合题意；
∴y=-x+15，
③当b+d=16时，x+y=6，c+e=5，
∴b+d+c+e=16+5=21，
即2x+2y=21，
x+y=10.5≠6，不符合题意；
④当b+d=16时，x+y=5，c+e=15，
∴b+d+c+e=16+15=31，
即2x+2y=31，
x+y=15.5≠5，不符合题意；
综上所述，则y=-x+15．

点评 本题考查了新定义和实数的运算，比较复杂，理解对称等和数的定义是关键，注意象奇数位的对称等和数中间的数与其他数的关系：如53697是“对称等和数”，则5+7=3+9=6+6=12．