Question

如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E．求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连接OD，根据三角形的中位线定理得到OD∥AC，结合DE⊥AC得到OD⊥DE，从而证明结论．

解答：证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是直角；等腰三角形的性质，即等腰三角形底边上的高也是底边上的中线；三角形的中位线定理以及平行线的性质；切线的判定，即经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．
注意：构造直径所对的圆周角和连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．