Question

（2013•成都）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=

1

3

x²-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，-4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO²=PA•PB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增大而增大；
③当k=-

3

3

时，BP²=BO•BA；
④△PAB面积的最小值为4

6

．
其中正确的是

③④

．（写出所有正确说法的序号）

Answer 1

分析：首先得到两个基本结论：
（I）设A（m，km），B（n，kn），联立两个解析式，由根与系数关系得到：m+n=3k，mn=-6；
（II）直线PA、PB关于y轴对称．
利用以上结论，解决本题：
（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP²=BO•BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S_△PAB=2

9k2+24

，当k=0时，取得最小值为4

6

，故正确．

解答：解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=

1

3

x²-2与y=kx得：

1

3

x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：

b=-4 ma+b=km

，解得a=

km+4

m

，b=-4，
∴y=（

km+4

m

）x-4．
令y=0，得x=

4m

km+4

，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（

4m

km+4

，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（

kn+4

n

）x-4，直线PB与x轴交点坐标为（

4n

kn+4

，0）．
∵

4m

km+4

+

4n

kn+4

=

8kmn+16(m+n)

(km+4)(kn+4)

=

8k×(-6)+16×3k

(km+4)(kn+4)

=0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假设结论：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴

PO

PA′

=

PB

PO

，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：

OB

OA

=-

n

m

，
∴OB=-

n

m

OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴

PB

PA

=

OB

OA

，
∴PB=-

n

m

PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-

n

m

PA-（-

n

m

OA）]=-

n

m

（PA+AO）（PA-OA）=-

n

m

（PA²-AO²）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=-km，PD=4+km．

∴PA²-AO²=（PD²+AD²）-（OD²+AD²）=PD²-OD²=（4+km）²-（-km）²=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=

1

3

（m+n），
∴PA²-AO²=8•

1

3

（m+n）•m+16=

8

3

m²+

8

3

mn+16=

8

3

m²+

8

3

×（-6）+16=

8

3

m²．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-

n

m

（PA²-AO²）=-

n

m

•

8

3

m²=-

8

3

mn=-

8

3

×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k=-

3

3

时，联立方程组：

y=- 3 3 x y= 1 3 x2-2

，得A（-2

3

，2），B（

3

，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=

1

2

OP•（-m）+

1

2

OP•n=

1

2

OP•（n-m）=2（n-m）=2

(m+n)2-4mn

=2

9k2+24

，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2

24

=4

6

．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故答案为：③④．

点评：本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．