Question

2．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°．若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． -4＜k＜$\frac{3}{4}$
• B． -2＜k＜$\frac{3}{4}$
• C． -4＜k＜$\sqrt{3}$-1
• D． -2＜k＜$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 作AC⊥OB于C，利用正弦、余弦的概念求出点A的坐标，根据待定系数法求出直线OA的解析式，联立抛物线解析式得到抛物线与OA相切时k的值，把点B的坐标代入抛物线的解析式求出k，根据题意解答即可．

解答 解：作AC⊥OB于C，
在Rt△AOC中，OC=$\frac{1}{2}$OA=1，AC=OA×sin60°=$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
设直线OA的解析式为y=mx，则m=$\sqrt{3}$，
则直线OA的解析式为y=$\sqrt{3}$x，
联立抛物线解析式得x²+k=$\sqrt{3}$x，即x²-$\sqrt{3}$x+k=0，
△=3-4k=0，
解得k=$\frac{3}{4}$
当抛物线经过当B时，0=4+k，
解得k=-4，
∴抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是-4＜k＜$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查的是二次函数图象与系数的关系以及软件三角函数的概念的应用，根据题意求出点A的坐标、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．