Question

17．如图，将一副三角板摆放在一起，连接AC．
（1）试求∠ACB的正切值；
（2）若点A到边BC的距离为6（$\sqrt{3}+1$），求CD的长．

Answer 1

分析 （1）过点A作CD的垂线，交CD的延长线于M，作AN∥CD交BC于N，则四边形ANCM为矩形，设AM=a．由三角形ADM是等腰直角三角形，得出DM=AM=a，AD=$\sqrt{2}$a．解直角△ABD，求出AB=2AD=2a，BD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{6}$a．由△CBD是等腰直角三角形，得到BC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{3}$a，于是AN=MC=MD+DC=（$\sqrt{3}$+1）a，然后在直角△CAN中利用正切函数的定义即可求出tan∠ACB=$\frac{AN}{CN}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）a}{a}$=$\sqrt{3}$+1；
（2）由AN=（$\sqrt{3}$+1）a=6（$\sqrt{3}+1$），得出a=6，于是CD=$\sqrt{3}$a=6$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于M，作AN∥CD交BC于N，则四边形ANCM为矩形，设AM=a．
∵∠M=90°，∠ADM=180°-90°-45°=45°，
∴DM=AM=a，AD=$\sqrt{2}$a．
在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABD=30°，
∴AB=2AD=2a，BD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{6}$a．
在△CBD中，∵∠DCB=90°，∠CBD=45°，
∴BC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{3}$a，
∴AN=MC=MD+DC=a+$\sqrt{3}$a=（$\sqrt{3}$+1）a．
在△CAN中，∵∠ANC=90°，CN=AM=a，AN=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴tan∠ACB=$\frac{AN}{CN}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）a}{a}$=$\sqrt{3}$+1；

（2）∵AN=（$\sqrt{3}$+1）a=6（$\sqrt{3}+1$），
∴a=6，
∴CD=$\sqrt{3}$a=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的三边之间的关系，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线是解题的关键．